Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18931 / 13675
↖ ↑ ↗
← N 28.507316°
E 27.982178°		 ← 1 073.52 m → N 28.507316°
E 27.993164°		 →
↑
1 073.58 m
↓
↑
1 073.58 m
↓
N 28.497661°
E 27.982178°		 ← 1 073.62 m →
1 152 563 m²		 N 28.497661°
E 27.993164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577743530273438 y=0.417343139648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577743530273438 × 215)
    floor (0.577743530273438 × 32768)
    floor (18931.5)     		tx = 18931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417343139648438 × 215)
    floor (0.417343139648438 × 32768)
    floor (13675.5)     		ty = 13675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18931 / 13675 ti = "15/18931/13675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18931/13675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18931 ÷ 215
    18931 ÷ 32768     		x = 0.577728271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13675 ÷ 215
    13675 ÷ 32768     		y = 0.417327880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577728271484375 × 2 - 1) × π
    0.15545654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48838113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417327880859375 × 2 - 1) × π
    0.16534423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.519444244282928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48838113} λ = 0.48838113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.519444244282928))-π/2
    2×atan(1.68109311292742)-π/2
    2×1.03417142226537-π/2
    2.06834284453073-1.57079632675     		φ = 0.49754652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48838113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.982178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49754652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.507316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18931 KachelY 13675 0.48838113 0.49754652 27.982178 28.507316
    Oben rechts KachelX + 1 18932 KachelY 13675 0.48857288 0.49754652 27.993164 28.507316
    Unten links KachelX 18931 KachelY + 1 13676 0.48838113 0.49737801 27.982178 28.497661
    Unten rechts KachelX + 1 18932 KachelY + 1 13676 0.48857288 0.49737801 27.993164 28.497661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49754652-0.49737801) × R
    0.000168510000000011 × 6371000     		dl = 1073.57721000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49754652-0.49737801) × R
    0.000168510000000011 × 6371000     		dr = 1073.57721000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48838113-0.48857288) × cos(0.49754652) × R
    0.000191749999999991 × 0.87875618034981 × 6371000     		do = 1073.52304109535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48838113-0.48857288) × cos(0.49737801) × R
    0.000191749999999991 × 0.878836592803586 × 6371000     		du = 1073.62127610508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49754652)-sin(0.49737801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87875618034981-0.878836592803586)×R²
    abs(0.48857288-0.48838113)×8.04124537768791e-05×R²
    0.000191749999999991×8.04124537768791e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.04124537768791e-05×40589641000000     		ar = 1152562.60549123m²