Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18930 / 14097
↖ ↑ ↗
← N 24.357106°
E 27.971192°		 ← 1 112.85 m → N 24.357106°
E 27.982178°		 →
↑
1 112.95 m
↓
↑
1 112.95 m
↓
N 24.347097°
E 27.971192°		 ← 1 112.93 m →
1 238 591 m²		 N 24.347097°
E 27.982178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577713012695312 y=0.430221557617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577713012695312 × 215)
    floor (0.577713012695312 × 32768)
    floor (18930.5)     		tx = 18930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430221557617188 × 215)
    floor (0.430221557617188 × 32768)
    floor (14097.5)     		ty = 14097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18930 / 14097 ti = "15/18930/14097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18930/14097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18930 ÷ 215
    18930 ÷ 32768     		x = 0.57769775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14097 ÷ 215
    14097 ÷ 32768     		y = 0.430206298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57769775390625 × 2 - 1) × π
    0.1553955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48818939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430206298828125 × 2 - 1) × π
    0.13958740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.438526757724274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48818939} λ = 0.48818939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.438526757724274))-π/2
    2×atan(1.55042138879912)-π/2
    2×0.997954006954425-π/2
    1.99590801390885-1.57079632675     		φ = 0.42511169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48818939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.971192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42511169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.357106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18930 KachelY 14097 0.48818939 0.42511169 27.971192 24.357106
    Oben rechts KachelX + 1 18931 KachelY 14097 0.48838113 0.42511169 27.982178 24.357106
    Unten links KachelX 18930 KachelY + 1 14098 0.48818939 0.42493700 27.971192 24.347097
    Unten rechts KachelX + 1 18931 KachelY + 1 14098 0.48838113 0.42493700 27.982178 24.347097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42511169-0.42493700) × R
    0.000174689999999977 × 6371000     		dl = 1112.94998999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42511169-0.42493700) × R
    0.000174689999999977 × 6371000     		dr = 1112.94998999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48818939-0.48838113) × cos(0.42511169) × R
    0.000191739999999996 × 0.910992675163569 × 6371000     		do = 1112.84636909896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48818939-0.48838113) × cos(0.42493700) × R
    0.000191739999999996 × 0.91106470735531 × 6371000     		du = 1112.93436186248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42511169)-sin(0.42493700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910992675163569-0.91106470735531)×R²
    abs(0.48838113-0.48818939)×7.20321917409006e-05×R²
    0.000191739999999996×7.20321917409006e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.20321917409006e-05×40589641000000     		ar = 1238591.32428252m²