Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18928 / 13875
↖ ↑ ↗
← N 26.559050°
E 27.949219°		 ← 1 092.72 m → N 26.559050°
E 27.960205°		 →
↑
1 092.75 m
↓
↑
1 092.75 m
↓
N 26.549223°
E 27.949219°		 ← 1 092.82 m →
1 194 130 m²		 N 26.549223°
E 27.960205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577651977539062 y=0.423446655273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577651977539062 × 215)
    floor (0.577651977539062 × 32768)
    floor (18928.5)     		tx = 18928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423446655273438 × 215)
    floor (0.423446655273438 × 32768)
    floor (13875.5)     		ty = 13875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18928 / 13875 ti = "15/18928/13875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18928/13875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18928 ÷ 215
    18928 ÷ 32768     		x = 0.57763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13875 ÷ 215
    13875 ÷ 32768     		y = 0.423431396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57763671875 × 2 - 1) × π
    0.1552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48780589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423431396484375 × 2 - 1) × π
    0.15313720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.481094724586884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48780589} λ = 0.48780589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481094724586884))-π/2
    2×atan(1.61784452729816)-π/2
    2×1.01716959760323-π/2
    2.03433919520646-1.57079632675     		φ = 0.46354287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48780589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.949219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46354287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.559050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18928 KachelY 13875 0.48780589 0.46354287 27.949219 26.559050
    Oben rechts KachelX + 1 18929 KachelY 13875 0.48799764 0.46354287 27.960205 26.559050
    Unten links KachelX 18928 KachelY + 1 13876 0.48780589 0.46337135 27.949219 26.549223
    Unten rechts KachelX + 1 18929 KachelY + 1 13876 0.48799764 0.46337135 27.960205 26.549223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46354287-0.46337135) × R
    0.000171519999999981 × 6371000     		dl = 1092.75391999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46354287-0.46337135) × R
    0.000171519999999981 × 6371000     		dr = 1092.75391999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48780589-0.48799764) × cos(0.46354287) × R
    0.000191749999999991 × 0.894474026798921 × 6371000     		do = 1092.72457924306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48780589-0.48799764) × cos(0.46337135) × R
    0.000191749999999991 × 0.894550703648474 × 6371000     		du = 1092.81825069204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46354287)-sin(0.46337135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894474026798921-0.894550703648474)×R²
    abs(0.48799764-0.48780589)×7.66768495528147e-05×R²
    0.000191749999999991×7.66768495528147e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.66768495528147e-05×40589641000000     		ar = 1194130.25029711m²