Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18926 / 14100
↖ ↑ ↗
← N 24.327076°
E 27.927246°		 ← 1 113.11 m → N 24.327076°
E 27.938232°		 →
↑
1 113.20 m
↓
↑
1 113.20 m
↓
N 24.317065°
E 27.927246°		 ← 1 113.20 m →
1 239 169 m²		 N 24.317065°
E 27.938232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577590942382812 y=0.430313110351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577590942382812 × 215)
    floor (0.577590942382812 × 32768)
    floor (18926.5)     		tx = 18926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430313110351562 × 215)
    floor (0.430313110351562 × 32768)
    floor (14100.5)     		ty = 14100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18926 / 14100 ti = "15/18926/14100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18926/14100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18926 ÷ 215
    18926 ÷ 32768     		x = 0.57757568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14100 ÷ 215
    14100 ÷ 32768     		y = 0.4302978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57757568359375 × 2 - 1) × π
    0.1551513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48742240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4302978515625 × 2 - 1) × π
    0.139404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.437951514928833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48742240} λ = 0.48742240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.437951514928833))-π/2
    2×atan(1.54952977653667)-π/2
    2×0.997691954895743-π/2
    1.99538390979149-1.57079632675     		φ = 0.42458758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48742240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.927246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42458758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.327076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18926 KachelY 14100 0.48742240 0.42458758 27.927246 24.327076
    Oben rechts KachelX + 1 18927 KachelY 14100 0.48761414 0.42458758 27.938232 24.327076
    Unten links KachelX 18926 KachelY + 1 14101 0.48742240 0.42441285 27.927246 24.317065
    Unten rechts KachelX + 1 18927 KachelY + 1 14101 0.48761414 0.42441285 27.938232 24.317065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42458758-0.42441285) × R
    0.000174730000000012 × 6371000     		dl = 1113.20483000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42458758-0.42441285) × R
    0.000174730000000012 × 6371000     		dr = 1113.20483000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48742240-0.48761414) × cos(0.42458758) × R
    0.000191739999999996 × 0.911208704806615 × 6371000     		do = 1113.11026562682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48742240-0.48761414) × cos(0.42441285) × R
    0.000191739999999996 × 0.911280670049049 × 6371000     		du = 1113.1981766067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42458758)-sin(0.42441285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911208704806615-0.911280670049049)×R²
    abs(0.48761414-0.48742240)×7.19652424339134e-05×R²
    0.000191739999999996×7.19652424339134e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.19652424339134e-05×40589641000000     		ar = 1239168.65863506m²