Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18925 / 14128
↖ ↑ ↗
← N 24.046464°
E 27.916260°		 ← 1 115.62 m → N 24.046464°
E 27.927246°		 →
↑
1 115.63 m
↓
↑
1 115.63 m
↓
N 24.036431°
E 27.916260°		 ← 1 115.71 m →
1 244 663 m²		 N 24.036431°
E 27.927246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577560424804688 y=0.431167602539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577560424804688 × 215)
    floor (0.577560424804688 × 32768)
    floor (18925.5)     		tx = 18925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431167602539062 × 215)
    floor (0.431167602539062 × 32768)
    floor (14128.5)     		ty = 14128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18925 / 14128 ti = "15/18925/14128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18925/14128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18925 ÷ 215
    18925 ÷ 32768     		x = 0.577545166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14128 ÷ 215
    14128 ÷ 32768     		y = 0.43115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577545166015625 × 2 - 1) × π
    0.15509033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48723065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43115234375 × 2 - 1) × π
    0.1376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.432582582171387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48723065} λ = 0.48723065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.432582582171387))-π/2
    2×atan(1.54123274838435)-π/2
    2×0.995243148520036-π/2
    1.99048629704007-1.57079632675     		φ = 0.41968997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48723065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.916260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41968997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.046464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18925 KachelY 14128 0.48723065 0.41968997 27.916260 24.046464
    Oben rechts KachelX + 1 18926 KachelY 14128 0.48742240 0.41968997 27.927246 24.046464
    Unten links KachelX 18925 KachelY + 1 14129 0.48723065 0.41951486 27.916260 24.036431
    Unten rechts KachelX + 1 18926 KachelY + 1 14129 0.48742240 0.41951486 27.927246 24.036431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41968997-0.41951486) × R
    0.000175110000000034 × 6371000     		dl = 1115.62581000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41968997-0.41951486) × R
    0.000175110000000034 × 6371000     		dr = 1115.62581000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48723065-0.48742240) × cos(0.41968997) × R
    0.000191749999999991 × 0.91321531440113 × 6371000     		do = 1115.61967177346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48723065-0.48742240) × cos(0.41951486) × R
    0.000191749999999991 × 0.913286653758067 × 6371000     		du = 1115.70682273196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41968997)-sin(0.41951486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91321531440113-0.913286653758067)×R²
    abs(0.48742240-0.48723065)×7.13393569373721e-05×R²
    0.000191749999999991×7.13393569373721e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.13393569373721e-05×40589641000000     		ar = 1244662.71708429m²