Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18919 / 14179
↖ ↑ ↗
← N 23.533773°
E 27.850342°		 ← 1 120.03 m → N 23.533773°
E 27.861328°		 →
↑
1 120.02 m
↓
↑
1 120.02 m
↓
N 23.523700°
E 27.850342°		 ← 1 120.11 m →
1 254 505 m²		 N 23.523700°
E 27.861328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577377319335938 y=0.432723999023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577377319335938 × 215)
    floor (0.577377319335938 × 32768)
    floor (18919.5)     		tx = 18919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432723999023438 × 215)
    floor (0.432723999023438 × 32768)
    floor (14179.5)     		ty = 14179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18919 / 14179 ti = "15/18919/14179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18919/14179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18919 ÷ 215
    18919 ÷ 32768     		x = 0.577362060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14179 ÷ 215
    14179 ÷ 32768     		y = 0.432708740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577362060546875 × 2 - 1) × π
    0.15472412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48608016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432708740234375 × 2 - 1) × π
    0.13458251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.422803454648895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48608016} λ = 0.48608016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.422803454648895))-π/2
    2×atan(1.52623429223042)-π/2
    2×0.990769075379261-π/2
    1.98153815075852-1.57079632675     		φ = 0.41074182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48608016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.850342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41074182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.533773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18919 KachelY 14179 0.48608016 0.41074182 27.850342 23.533773
    Oben rechts KachelX + 1 18920 KachelY 14179 0.48627191 0.41074182 27.861328 23.533773
    Unten links KachelX 18919 KachelY + 1 14180 0.48608016 0.41056602 27.850342 23.523700
    Unten rechts KachelX + 1 18920 KachelY + 1 14180 0.48627191 0.41056602 27.861328 23.523700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41074182-0.41056602) × R
    0.000175800000000004 × 6371000     		dl = 1120.02180000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41074182-0.41056602) × R
    0.000175800000000004 × 6371000     		dr = 1120.02180000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48608016-0.48627191) × cos(0.41074182) × R
    0.000191749999999991 × 0.916824874127673 × 6371000     		do = 1120.02925161062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48608016-0.48627191) × cos(0.41056602) × R
    0.000191749999999991 × 0.916895055063869 × 6371000     		du = 1120.11498739688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41074182)-sin(0.41056602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916824874127673-0.916895055063869)×R²
    abs(0.48627191-0.48608016)×7.01809361965955e-05×R²
    0.000191749999999991×7.01809361965955e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.01809361965955e-05×40589641000000     		ar = 1254505.19464734m²