Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18914 / 10850
↖ ↑ ↗
← N 81.684350°
W128.051147°		 ← 44.16 m → N 81.684350°
W128.048401°		 →
↑
44.21 m
↓
↑
44.21 m
↓
N 81.683952°
W128.051147°		 ← 44.17 m →
1 953 m²		 N 81.683952°
W128.048401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144306182861328 y=0.0827827453613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144306182861328 × 217)
    floor (0.144306182861328 × 131072)
    floor (18914.5)     		tx = 18914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0827827453613281 × 217)
    floor (0.0827827453613281 × 131072)
    floor (10850.5)     		ty = 10850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18914 / 10850 ti = "17/18914/10850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18914/10850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18914 ÷ 217
    18914 ÷ 131072     		x = 0.144302368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10850 ÷ 217
    10850 ÷ 131072     		y = 0.0827789306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144302368164062 × 2 - 1) × π
    -0.711395263671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.23491413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0827789306640625 × 2 - 1) × π
    0.834442138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.62147729262239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23491413} λ = -2.23491413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62147729262239))-π/2
    2×atan(13.7560302639537)-π/2
    2×1.49822858702351-π/2
    2.99645717404702-1.57079632675     		φ = 1.42566085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23491413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.051147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42566085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.684350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18914 KachelY 10850 -2.23491413 1.42566085 -128.051147 81.684350
    Oben rechts KachelX + 1 18915 KachelY 10850 -2.23486620 1.42566085 -128.048401 81.684350
    Unten links KachelX 18914 KachelY + 1 10851 -2.23491413 1.42565391 -128.051147 81.683952
    Unten rechts KachelX + 1 18915 KachelY + 1 10851 -2.23486620 1.42565391 -128.048401 81.683952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42566085-1.42565391) × R
    6.94000000001083e-06 × 6371000     		dl = 44.214740000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42566085-1.42565391) × R
    6.94000000001083e-06 × 6371000     		dr = 44.214740000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23491413--2.23486620) × cos(1.42566085) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144626483472771 × 6371000     		do = 44.1634365850338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23491413--2.23486620) × cos(1.42565391) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144633350504359 × 6371000     		du = 44.1655335157395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42566085)-sin(1.42565391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144626483472771-0.144633350504359)×R²
    abs(-2.23486620--2.23491413)×6.86703158772617e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.86703158772617e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.86703158772617e-06×40589641000000     		ar = 1952.72122378904m²