Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18912 / 10720
↖ ↑ ↗
← N 81.735831°
W128.056641°		 ← 43.90 m → N 81.735831°
W128.053894°		 →
↑
43.90 m
↓
↑
43.90 m
↓
N 81.735436°
W128.056641°		 ← 43.90 m →
1 927 m²		 N 81.735436°
W128.053894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144290924072266 y=0.0817909240722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144290924072266 × 217)
    floor (0.144290924072266 × 131072)
    floor (18912.5)     		tx = 18912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0817909240722656 × 217)
    floor (0.0817909240722656 × 131072)
    floor (10720.5)     		ty = 10720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18912 / 10720 ti = "17/18912/10720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18912/10720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18912 ÷ 217
    18912 ÷ 131072     		x = 0.144287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10720 ÷ 217
    10720 ÷ 131072     		y = 0.081787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144287109375 × 2 - 1) × π
    -0.71142578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.23501001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.081787109375 × 2 - 1) × π
    0.83642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.627709089573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23501001} λ = -2.23501001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.627709089573))-π/2
    2×atan(13.842022716863)-π/2
    2×1.49867784187199-π/2
    2.99735568374397-1.57079632675     		φ = 1.42655936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23501001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.056641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42655936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.735831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18912 KachelY 10720 -2.23501001 1.42655936 -128.056641 81.735831
    Oben rechts KachelX + 1 18913 KachelY 10720 -2.23496207 1.42655936 -128.053894 81.735831
    Unten links KachelX 18912 KachelY + 1 10721 -2.23501001 1.42655247 -128.056641 81.735436
    Unten rechts KachelX + 1 18913 KachelY + 1 10721 -2.23496207 1.42655247 -128.053894 81.735436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42655936-1.42655247) × R
    6.88999999987061e-06 × 6371000     		dl = 43.8961899991757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42655936-1.42655247) × R
    6.88999999987061e-06 × 6371000     		dr = 43.8961899991757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23501001--2.23496207) × cos(1.42655936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1437373618578 × 6371000     		do = 43.9010901110374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23501001--2.23496207) × cos(1.42655247) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143744180307734 × 6371000     		du = 43.9031726411544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42655936)-sin(1.42655247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1437373618578-0.143744180307734)×R²
    abs(-2.23496207--2.23501001)×6.81844993463687e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.81844993463687e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.81844993463687e-06×40589641000000     		ar = 1927.13630030537m²