Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18911 / 14878
↖ ↑ ↗
← N 79.921509°
W128.059387°		 ← 53.44 m → N 79.921509°
W128.056641°		 →
↑
53.45 m
↓
↑
53.45 m
↓
N 79.921029°
W128.059387°		 ← 53.44 m →
2 856 m²		 N 79.921029°
W128.056641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144283294677734 y=0.113513946533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144283294677734 × 217)
    floor (0.144283294677734 × 131072)
    floor (18911.5)     		tx = 18911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113513946533203 × 217)
    floor (0.113513946533203 × 131072)
    floor (14878.5)     		ty = 14878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18911 / 14878 ti = "17/18911/14878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18911/14878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18911 ÷ 217
    18911 ÷ 131072     		x = 0.144279479980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14878 ÷ 217
    14878 ÷ 131072     		y = 0.113510131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144279479980469 × 2 - 1) × π
    -0.711441040039062 × 3.1415926535     		Λ = -2.23505794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113510131835938 × 2 - 1) × π
    0.772979736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4283874609528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23505794} λ = -2.23505794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4283874609528))-π/2
    2×atan(11.3405801993294)-π/2
    2×1.48284490214062-π/2
    2.96568980428125-1.57079632675     		φ = 1.39489348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23505794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.059387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39489348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.921509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18911 KachelY 14878 -2.23505794 1.39489348 -128.059387 79.921509
    Oben rechts KachelX + 1 18912 KachelY 14878 -2.23501001 1.39489348 -128.056641 79.921509
    Unten links KachelX 18911 KachelY + 1 14879 -2.23505794 1.39488509 -128.059387 79.921029
    Unten rechts KachelX + 1 18912 KachelY + 1 14879 -2.23501001 1.39488509 -128.056641 79.921029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39489348-1.39488509) × R
    8.38999999985823e-06 × 6371000     		dl = 53.4526899990968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39489348-1.39488509) × R
    8.38999999985823e-06 × 6371000     		dr = 53.4526899990968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23505794--2.23501001) × cos(1.39489348) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.174997123711731 × 6371000     		do = 53.4374769408081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23505794--2.23501001) × cos(1.39488509) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.175005384239017 × 6371000     		du = 53.439999392189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39489348)-sin(1.39488509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174997123711731-0.175005384239017)×R²
    abs(-2.23501001--2.23505794)×8.26052728586379e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.26052728586379e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.26052728586379e-06×40589641000000     		ar = 2856.44430516262m²