Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 18911 / 10719
↖ ↑ ↗
← N 81.736225°
W128.059387°		 ← 43.89 m → N 81.736225°
W128.056641°		 →
↑
43.90 m
↓
↑
43.90 m
↓
N 81.735831°
W128.059387°		 ← 43.89 m →
1 927 m²		 N 81.735831°
W128.056641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144283294677734 y=0.0817832946777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144283294677734 × 217)
    floor (0.144283294677734 × 131072)
    floor (18911.5)     		tx = 18911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0817832946777344 × 217)
    floor (0.0817832946777344 × 131072)
    floor (10719.5)     		ty = 10719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18911 / 10719 ti = "17/18911/10719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18911/10719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18911 ÷ 217
    18911 ÷ 131072     		x = 0.144279479980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10719 ÷ 217
    10719 ÷ 131072     		y = 0.0817794799804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144279479980469 × 2 - 1) × π
    -0.711441040039062 × 3.1415926535     		Λ = -2.23505794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0817794799804688 × 2 - 1) × π
    0.836441040039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.62775702647262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23505794} λ = -2.23505794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62775702647262))-π/2
    2×atan(13.8426862764209)-π/2
    2×1.49868128695209-π/2
    2.99736257390417-1.57079632675     		φ = 1.42656625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23505794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.059387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42656625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.736225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18911 KachelY 10719 -2.23505794 1.42656625 -128.059387 81.736225
    Oben rechts KachelX + 1 18912 KachelY 10719 -2.23501001 1.42656625 -128.056641 81.736225
    Unten links KachelX 18911 KachelY + 1 10720 -2.23505794 1.42655936 -128.059387 81.735831
    Unten rechts KachelX + 1 18912 KachelY + 1 10720 -2.23501001 1.42655936 -128.056641 81.735831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42656625-1.42655936) × R
    6.89000000009266e-06 × 6371000     		dl = 43.8961900005903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42656625-1.42655936) × R
    6.89000000009266e-06 × 6371000     		dr = 43.8961900005903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23505794--2.23501001) × cos(1.42656625) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.143730543401041 × 6371000     		do = 43.8898505059719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23505794--2.23501001) × cos(1.42655936) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.1437373618578 × 6371000     		du = 43.8919326037691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42656625)-sin(1.42655936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143730543401041-0.1437373618578)×R²
    abs(-2.23501001--2.23505794)×6.81845675834514e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.81845675834514e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.81845675834514e-06×40589641000000     		ar = 1926.64291508676m²