Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1891 / 1378
↖ ↑ ↗
← N 75.823660°
W 96.899414°		 ← 1 196.74 m → N 75.823660°
W 96.855469°		 →
↑
1 197.17 m
↓
↑
1 197.17 m
↓
N 75.812893°
W 96.899414°		 ← 1 197.63 m →
1 433 236 m²		 N 75.812893°
W 96.855469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.23089599609375 y=0.16827392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.23089599609375 × 213)
    floor (0.23089599609375 × 8192)
    floor (1891.5)     		tx = 1891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16827392578125 × 213)
    floor (0.16827392578125 × 8192)
    floor (1378.5)     		ty = 1378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1891 / 1378 ti = "13/1891/1378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1891/1378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1891 ÷ 213
    1891 ÷ 8192     		x = 0.2308349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1378 ÷ 213
    1378 ÷ 8192     		y = 0.168212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2308349609375 × 2 - 1) × π
    -0.538330078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.69121382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168212890625 × 2 - 1) × π
    0.66357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.084679890677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69121382} λ = -1.69121382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.084679890677))-π/2
    2×atan(8.04201674508527)-π/2
    2×1.44708441803767-π/2
    2.89416883607534-1.57079632675     		φ = 1.32337251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69121382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32337251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.823660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1891 KachelY 1378 -1.69121382 1.32337251 -96.899414 75.823660
    Oben rechts KachelX + 1 1892 KachelY 1378 -1.69044683 1.32337251 -96.855469 75.823660
    Unten links KachelX 1891 KachelY + 1 1379 -1.69121382 1.32318460 -96.899414 75.812893
    Unten rechts KachelX + 1 1892 KachelY + 1 1379 -1.69044683 1.32318460 -96.855469 75.812893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32337251-1.32318460) × R
    0.000187909999999958 × 6371000     		dl = 1197.17460999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32337251-1.32318460) × R
    0.000187909999999958 × 6371000     		dr = 1197.17460999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69121382--1.69044683) × cos(1.32337251) × R
    0.000766990000000023 × 0.24490704513254 × 6371000     		do = 1196.73663271392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69121382--1.69044683) × cos(1.32318460) × R
    0.000766990000000023 × 0.245089228302404 × 6371000     		du = 1197.62686955101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32337251)-sin(1.32318460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24490704513254-0.245089228302404)×R²
    abs(-1.69044683--1.69121382)×0.000182183169864181×R²
    0.000766990000000023×0.000182183169864181×6371000²
    0.000766990000000023×0.000182183169864181×40589641000000     		ar = 1433235.60022663m²