Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1891 / 1260
↖ ↑ ↗
← N 56.752723°
W 13.798828°		 ← 5 358.07 m → N 56.752723°
W 13.710937°		 →
↑
5 361.52 m
↓
↑
5 361.52 m
↓
N 56.704505°
W 13.798828°		 ← 5 364.95 m →
28 745 830 m²		 N 56.704505°
W 13.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4617919921875 y=0.3077392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4617919921875 × 212)
    floor (0.4617919921875 × 4096)
    floor (1891.5)     		tx = 1891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3077392578125 × 212)
    floor (0.3077392578125 × 4096)
    floor (1260.5)     		ty = 1260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1891 / 1260 ti = "12/1891/1260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1891/1260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1891 ÷ 212
    1891 ÷ 4096     		x = 0.461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1260 ÷ 212
    1260 ÷ 4096     		y = 0.3076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.07666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24083498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3076171875 × 2 - 1) × π
    0.384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20877686081934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24083498} λ = -0.24083498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20877686081934))-π/2
    2×atan(3.34938538157927)-π/2
    2×1.28065910018262-π/2
    2.56131820036525-1.57079632675     		φ = 0.99052187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24083498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.798828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99052187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.752723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1891 KachelY 1260 -0.24083498 0.99052187 -13.798828 56.752723
    Oben rechts KachelX + 1 1892 KachelY 1260 -0.23930100 0.99052187 -13.710937 56.752723
    Unten links KachelX 1891 KachelY + 1 1261 -0.24083498 0.98968032 -13.798828 56.704505
    Unten rechts KachelX + 1 1892 KachelY + 1 1261 -0.23930100 0.98968032 -13.710937 56.704505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99052187-0.98968032) × R
    0.00084155000000008 × 6371000     		dl = 5361.51505000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99052187-0.98968032) × R
    0.00084155000000008 × 6371000     		dr = 5361.51505000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24083498--0.23930100) × cos(0.99052187) × R
    0.00153397999999999 × 0.548253489006567 × 6371000     		do = 5358.07399049932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24083498--0.23930100) × cos(0.98968032) × R
    0.00153397999999999 × 0.548957093325112 × 6371000     		du = 5364.95030606209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99052187)-sin(0.98968032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548253489006567-0.548957093325112)×R²
    abs(-0.23930100--0.24083498)×0.000703604318545104×R²
    0.00153397999999999×0.000703604318545104×6371000²
    0.00153397999999999×0.000703604318545104×40589641000000     		ar = 28745829.7702678m²