Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1891 / 1259
↖ ↑ ↗
← N 56.800878°
W 13.798828°		 ← 5 351.20 m → N 56.800878°
W 13.710937°		 →
↑
5 354.63 m
↓
↑
5 354.63 m
↓
N 56.752723°
W 13.798828°		 ← 5 358.07 m →
28 672 132 m²		 N 56.752723°
W 13.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4617919921875 y=0.3074951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4617919921875 × 212)
    floor (0.4617919921875 × 4096)
    floor (1891.5)     		tx = 1891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3074951171875 × 212)
    floor (0.3074951171875 × 4096)
    floor (1259.5)     		ty = 1259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1891 / 1259 ti = "12/1891/1259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1891/1259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1891 ÷ 212
    1891 ÷ 4096     		x = 0.461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1259 ÷ 212
    1259 ÷ 4096     		y = 0.307373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.07666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24083498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307373046875 × 2 - 1) × π
    0.38525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21031084160718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24083498} λ = -0.24083498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21031084160718))-π/2
    2×atan(3.3545272171359)-π/2
    2×1.28107933567538-π/2
    2.56215867135076-1.57079632675     		φ = 0.99136234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24083498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.798828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99136234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.800878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1891 KachelY 1259 -0.24083498 0.99136234 -13.798828 56.800878
    Oben rechts KachelX + 1 1892 KachelY 1259 -0.23930100 0.99136234 -13.710937 56.800878
    Unten links KachelX 1891 KachelY + 1 1260 -0.24083498 0.99052187 -13.798828 56.752723
    Unten rechts KachelX + 1 1892 KachelY + 1 1260 -0.23930100 0.99052187 -13.710937 56.752723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99136234-0.99052187) × R
    0.000840469999999982 × 6371000     		dl = 5354.63436999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99136234-0.99052187) × R
    0.000840469999999982 × 6371000     		dr = 5354.63436999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24083498--0.23930100) × cos(0.99136234) × R
    0.00153397999999999 × 0.547550400126254 × 6371000     		do = 5351.20271230748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24083498--0.23930100) × cos(0.99052187) × R
    0.00153397999999999 × 0.548253489006567 × 6371000     		du = 5358.07399049932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99136234)-sin(0.99052187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547550400126254-0.548253489006567)×R²
    abs(-0.23930100--0.24083498)×0.000703088880312674×R²
    0.00153397999999999×0.000703088880312674×6371000²
    0.00153397999999999×0.000703088880312674×40589641000000     		ar = 28672132.2431511m²