Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18904 / 14121
↖ ↑ ↗
← N 24.116675°
E 27.685547°		 ← 1 115.01 m → N 24.116675°
E 27.696533°		 →
↑
1 115.05 m
↓
↑
1 115.05 m
↓
N 24.106647°
E 27.685547°		 ← 1 115.10 m →
1 243 342 m²		 N 24.106647°
E 27.696533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576919555664062 y=0.430953979492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576919555664062 × 215)
    floor (0.576919555664062 × 32768)
    floor (18904.5)     		tx = 18904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430953979492188 × 215)
    floor (0.430953979492188 × 32768)
    floor (14121.5)     		ty = 14121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18904 / 14121 ti = "15/18904/14121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18904/14121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18904 ÷ 215
    18904 ÷ 32768     		x = 0.576904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14121 ÷ 215
    14121 ÷ 32768     		y = 0.430938720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576904296875 × 2 - 1) × π
    0.15380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48320395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430938720703125 × 2 - 1) × π
    0.13812255859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.433924815360748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48320395} λ = 0.48320395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.433924815360748))-π/2
    2×atan(1.54330283108783)-π/2
    2×0.995855854749707-π/2
    1.99171170949941-1.57079632675     		φ = 0.42091538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48320395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.685547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42091538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.116675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18904 KachelY 14121 0.48320395 0.42091538 27.685547 24.116675
    Oben rechts KachelX + 1 18905 KachelY 14121 0.48339570 0.42091538 27.696533 24.116675
    Unten links KachelX 18904 KachelY + 1 14122 0.48320395 0.42074036 27.685547 24.106647
    Unten rechts KachelX + 1 18905 KachelY + 1 14122 0.48339570 0.42074036 27.696533 24.106647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42091538-0.42074036) × R
    0.000175020000000026 × 6371000     		dl = 1115.05242000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42091538-0.42074036) × R
    0.000175020000000026 × 6371000     		dr = 1115.05242000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48320395-0.48339570) × cos(0.42091538) × R
    0.000191749999999991 × 0.912715302052949 × 6371000     		do = 1115.00883706343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48320395-0.48339570) × cos(0.42074036) × R
    0.000191749999999991 × 0.912786800563814 × 6371000     		du = 1115.09618245062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42091538)-sin(0.42074036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912715302052949-0.912786800563814)×R²
    abs(0.48339570-0.48320395)×7.14985108650756e-05×R²
    0.000191749999999991×7.14985108650756e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.14985108650756e-05×40589641000000     		ar = 1243342.0026056m²