Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18900 / 15038
↖ ↑ ↗
← N 14.626109°
E 27.641602°		 ← 1 182.05 m → N 14.626109°
E 27.652588°		 →
↑
1 182.08 m
↓
↑
1 182.08 m
↓
N 14.615478°
E 27.641602°		 ← 1 182.11 m →
1 397 307 m²		 N 14.615478°
E 27.652588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576797485351562 y=0.458938598632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576797485351562 × 215)
    floor (0.576797485351562 × 32768)
    floor (18900.5)     		tx = 18900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458938598632812 × 215)
    floor (0.458938598632812 × 32768)
    floor (15038.5)     		ty = 15038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18900 / 15038 ti = "15/18900/15038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18900/15038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18900 ÷ 215
    18900 ÷ 32768     		x = 0.5767822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15038 ÷ 215
    15038 ÷ 32768     		y = 0.45892333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5767822265625 × 2 - 1) × π
    0.153564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48243696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45892333984375 × 2 - 1) × π
    0.0821533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.258092267554382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48243696} λ = 0.48243696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.258092267554382))-π/2
    2×atan(1.29445824961129)-π/2
    2×0.913035041041536-π/2
    1.82607008208307-1.57079632675     		φ = 0.25527376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48243696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.641602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25527376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.626109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18900 KachelY 15038 0.48243696 0.25527376 27.641602 14.626109
    Oben rechts KachelX + 1 18901 KachelY 15038 0.48262871 0.25527376 27.652588 14.626109
    Unten links KachelX 18900 KachelY + 1 15039 0.48243696 0.25508822 27.641602 14.615478
    Unten rechts KachelX + 1 18901 KachelY + 1 15039 0.48262871 0.25508822 27.652588 14.615478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25527376-0.25508822) × R
    0.00018554000000004 × 6371000     		dl = 1182.07534000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25527376-0.25508822) × R
    0.00018554000000004 × 6371000     		dr = 1182.07534000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48243696-0.48262871) × cos(0.25527376) × R
    0.000191749999999991 × 0.967594204725831 × 6371000     		do = 1182.05105856555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48243696-0.48262871) × cos(0.25508822) × R
    0.000191749999999991 × 0.967641038833105 × 6371000     		du = 1182.10827294924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25527376)-sin(0.25508822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967594204725831-0.967641038833105)×R²
    abs(0.48262871-0.48243696)×4.68341072735745e-05×R²
    0.000191749999999991×4.68341072735745e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.68341072735745e-05×40589641000000     		ar = 1397307.22681621m²