Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1890 / 1750
↖ ↑ ↗
← N 25.324167°
W 13.886718°		 ← 8 833.82 m → N 25.324167°
W 13.798828°		 →
↑
8 836.77 m
↓
↑
8 836.77 m
↓
N 25.244696°
W 13.886718°		 ← 8 839.61 m →
78 088 050 m²		 N 25.244696°
W 13.798828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4615478515625 y=0.4273681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4615478515625 × 212)
    floor (0.4615478515625 × 4096)
    floor (1890.5)     		tx = 1890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4273681640625 × 212)
    floor (0.4273681640625 × 4096)
    floor (1750.5)     		ty = 1750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1890 / 1750 ti = "12/1890/1750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1890/1750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1890 ÷ 212
    1890 ÷ 4096     		x = 0.46142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1750 ÷ 212
    1750 ÷ 4096     		y = 0.42724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46142578125 × 2 - 1) × π
    -0.0771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24236896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42724609375 × 2 - 1) × π
    0.1455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.457126274776855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24236896} λ = -0.24236896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.457126274776855))-π/2
    2×atan(1.57952832624386)-π/2
    2×1.00639320649028-π/2
    2.01278641298055-1.57079632675     		φ = 0.44199009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24236896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.886718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44199009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.324167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1890 KachelY 1750 -0.24236896 0.44199009 -13.886718 25.324167
    Oben rechts KachelX + 1 1891 KachelY 1750 -0.24083498 0.44199009 -13.798828 25.324167
    Unten links KachelX 1890 KachelY + 1 1751 -0.24236896 0.44060306 -13.886718 25.244696
    Unten rechts KachelX + 1 1891 KachelY + 1 1751 -0.24083498 0.44060306 -13.798828 25.244696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44199009-0.44060306) × R
    0.00138703000000001 × 6371000     		dl = 8836.76813000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44199009-0.44060306) × R
    0.00138703000000001 × 6371000     		dr = 8836.76813000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24236896--0.24083498) × cos(0.44199009) × R
    0.00153397999999999 × 0.903902214294465 × 6371000     		do = 8833.82420993203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24236896--0.24083498) × cos(0.44060306) × R
    0.00153397999999999 × 0.904494631661076 × 6371000     		du = 8839.61389690568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44199009)-sin(0.44060306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903902214294465-0.904494631661076)×R²
    abs(-0.24083498--0.24236896)×0.000592417366611087×R²
    0.00153397999999999×0.000592417366611087×6371000²
    0.00153397999999999×0.000592417366611087×40589641000000     		ar = 78088049.8241697m²