Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1890 / 1379
↖ ↑ ↗
← N 75.812893°
W 96.943359°		 ← 1 197.63 m → N 75.812893°
W 96.899414°		 →
↑
1 198.07 m
↓
↑
1 198.07 m
↓
N 75.802119°
W 96.943359°		 ← 1 198.52 m →
1 435 370 m²		 N 75.802119°
W 96.899414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.23077392578125 y=0.16839599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.23077392578125 × 213)
    floor (0.23077392578125 × 8192)
    floor (1890.5)     		tx = 1890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16839599609375 × 213)
    floor (0.16839599609375 × 8192)
    floor (1379.5)     		ty = 1379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1890 / 1379 ti = "13/1890/1379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1890/1379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1890 ÷ 213
    1890 ÷ 8192     		x = 0.230712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1379 ÷ 213
    1379 ÷ 8192     		y = 0.1683349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230712890625 × 2 - 1) × π
    -0.53857421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.69198081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1683349609375 × 2 - 1) × π
    0.663330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.08391290028308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69198081} λ = -1.69198081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08391290028308))-π/2
    2×atan(8.03585096034514)-π/2
    2×1.44699046243253-π/2
    2.89398092486507-1.57079632675     		φ = 1.32318460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69198081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.943359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32318460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.812893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1890 KachelY 1379 -1.69198081 1.32318460 -96.943359 75.812893
    Oben rechts KachelX + 1 1891 KachelY 1379 -1.69121382 1.32318460 -96.899414 75.812893
    Unten links KachelX 1890 KachelY + 1 1380 -1.69198081 1.32299655 -96.943359 75.802119
    Unten rechts KachelX + 1 1891 KachelY + 1 1380 -1.69121382 1.32299655 -96.899414 75.802119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32318460-1.32299655) × R
    0.000188049999999995 × 6371000     		dl = 1198.06654999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32318460-1.32299655) × R
    0.000188049999999995 × 6371000     		dr = 1198.06654999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69198081--1.69121382) × cos(1.32318460) × R
    0.000766990000000023 × 0.245089228302404 × 6371000     		do = 1197.62686955101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69198081--1.69121382) × cos(1.32299655) × R
    0.000766990000000023 × 0.245271538541748 × 6371000     		du = 1198.51772731226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32318460)-sin(1.32299655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.245089228302404-0.245271538541748)×R²
    abs(-1.69121382--1.69198081)×0.000182310239343619×R²
    0.000766990000000023×0.000182310239343619×6371000²
    0.000766990000000023×0.000182310239343619×40589641000000     		ar = 1435370.34946452m²