Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 189 / 219
↖ ↑ ↗
← N 25.165173°
W 47.109375°		 ← 70.763 km → N 25.165173°
W 46.406250°		 →
↑
70.947 km
↓
↑
70.947 km
↓
N 24.527135°
W 47.109375°		 ← 71.129 km →
5 033.43 km²		 N 24.527135°
W 46.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3701171875 y=0.4287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3701171875 × 29)
    floor (0.3701171875 × 512)
    floor (189.5)     		tx = 189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4287109375 × 29)
    floor (0.4287109375 × 512)
    floor (219.5)     		ty = 219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 189 / 219 ti = "9/189/219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/189/219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 189 ÷ 29
    189 ÷ 512     		x = 0.369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 219 ÷ 29
    219 ÷ 512     		y = 0.427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369140625 × 2 - 1) × π
    -0.26171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.82221370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427734375 × 2 - 1) × π
    0.14453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.454058313201172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82221370} λ = -0.82221370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454058313201172))-π/2
    2×atan(1.57468982000202)-π/2
    2×1.00500572945076-π/2
    2.01001145890153-1.57079632675     		φ = 0.43921513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82221370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43921513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.165173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 189 KachelY 219 -0.82221370 0.43921513 -47.109375 25.165173
    Oben rechts KachelX + 1 190 KachelY 219 -0.80994186 0.43921513 -46.406250 25.165173
    Unten links KachelX 189 KachelY + 1 220 -0.82221370 0.42807926 -47.109375 24.527135
    Unten rechts KachelX + 1 190 KachelY + 1 220 -0.80994186 0.42807926 -46.406250 24.527135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43921513-0.42807926) × R
    0.01113587 × 6371000     		dl = 70946.6277699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43921513-0.42807926) × R
    0.01113587 × 6371000     		dr = 70946.6277699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82221370--0.80994186) × cos(0.43921513) × R
    0.01227184 × 0.905085691620626 × 6371000     		do = 70763.1225436674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82221370--0.80994186) × cos(0.42807926) × R
    0.01227184 × 0.909764772910752 × 6371000     		du = 71128.9513329084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43921513)-sin(0.42807926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905085691620626-0.909764772910752)×R²
    abs(-0.80994186--0.82221370)×0.00467908129012562×R²
    0.01227184×0.00467908129012562×6371000²
    0.01227184×0.00467908129012562×40589641000000     		ar = 5033434089.86527m²