Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18898 / 14239
↖ ↑ ↗
← N 22.928042°
E 27.619629°		 ← 1 125.12 m → N 22.928042°
E 27.630615°		 →
↑
1 125.18 m
↓
↑
1 125.18 m
↓
N 22.917923°
E 27.619629°		 ← 1 125.21 m →
1 266 016 m²		 N 22.917923°
E 27.630615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576736450195312 y=0.434555053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576736450195312 × 215)
    floor (0.576736450195312 × 32768)
    floor (18898.5)     		tx = 18898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434555053710938 × 215)
    floor (0.434555053710938 × 32768)
    floor (14239.5)     		ty = 14239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18898 / 14239 ti = "15/18898/14239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18898/14239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18898 ÷ 215
    18898 ÷ 32768     		x = 0.57672119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14239 ÷ 215
    14239 ÷ 32768     		y = 0.434539794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57672119140625 × 2 - 1) × π
    0.1534423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48205346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434539794921875 × 2 - 1) × π
    0.13092041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.411298598740082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48205346} λ = 0.48205346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.411298598740082))-π/2
    2×atan(1.50877580785791)-π/2
    2×0.985483072442069-π/2
    1.97096614488414-1.57079632675     		φ = 0.40016982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48205346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.619629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40016982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.928042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18898 KachelY 14239 0.48205346 0.40016982 27.619629 22.928042
    Oben rechts KachelX + 1 18899 KachelY 14239 0.48224521 0.40016982 27.630615 22.928042
    Unten links KachelX 18898 KachelY + 1 14240 0.48205346 0.39999321 27.619629 22.917923
    Unten rechts KachelX + 1 18899 KachelY + 1 14240 0.48224521 0.39999321 27.630615 22.917923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40016982-0.39999321) × R
    0.000176610000000021 × 6371000     		dl = 1125.18231000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40016982-0.39999321) × R
    0.000176610000000021 × 6371000     		dr = 1125.18231000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48205346-0.48224521) × cos(0.40016982) × R
    0.000191749999999991 × 0.92099484969915 × 6371000     		do = 1125.12345744028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48205346-0.48224521) × cos(0.39999321) × R
    0.000191749999999991 × 0.921063638132197 × 6371000     		du = 1125.20749209003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40016982)-sin(0.39999321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92099484969915-0.921063638132197)×R²
    abs(0.48224521-0.48205346)×6.87884330468069e-05×R²
    0.000191749999999991×6.87884330468069e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.87884330468069e-05×40589641000000     		ar = 1266016.29131914m²