Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18896 / 13647
↖ ↑ ↗
← N 28.777289°
E 27.597656°		 ← 1 070.71 m → N 28.777289°
E 27.608642°		 →
↑
1 070.77 m
↓
↑
1 070.77 m
↓
N 28.767659°
E 27.597656°		 ← 1 070.81 m →
1 146 539 m²		 N 28.767659°
E 27.608642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576675415039062 y=0.416488647460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576675415039062 × 215)
    floor (0.576675415039062 × 32768)
    floor (18896.5)     		tx = 18896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416488647460938 × 215)
    floor (0.416488647460938 × 32768)
    floor (13647.5)     		ty = 13647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18896 / 13647 ti = "15/18896/13647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18896/13647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18896 ÷ 215
    18896 ÷ 32768     		x = 0.57666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13647 ÷ 215
    13647 ÷ 32768     		y = 0.416473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57666015625 × 2 - 1) × π
    0.1533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48166997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416473388671875 × 2 - 1) × π
    0.16705322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.524813177040375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48166997} λ = 0.48166997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524813177040375))-π/2
    2×atan(1.69014306135296)-π/2
    2×1.03652738516389-π/2
    2.07305477032779-1.57079632675     		φ = 0.50225844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48166997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.597656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50225844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.777289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18896 KachelY 13647 0.48166997 0.50225844 27.597656 28.777289
    Oben rechts KachelX + 1 18897 KachelY 13647 0.48186171 0.50225844 27.608642 28.777289
    Unten links KachelX 18896 KachelY + 1 13648 0.48166997 0.50209037 27.597656 28.767659
    Unten rechts KachelX + 1 18897 KachelY + 1 13648 0.48186171 0.50209037 27.608642 28.767659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50225844-0.50209037) × R
    0.000168069999999965 × 6371000     		dl = 1070.77396999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50225844-0.50209037) × R
    0.000168069999999965 × 6371000     		dr = 1070.77396999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48166997-0.48186171) × cos(0.50225844) × R
    0.000191739999999996 × 0.876497570920949 × 6371000     		do = 1070.70799350642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48166997-0.48186171) × cos(0.50209037) × R
    0.000191739999999996 × 0.876578468494909 × 6371000     		du = 1070.80681600402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50225844)-sin(0.50209037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876497570920949-0.876578468494909)×R²
    abs(0.48186171-0.48166997)×8.08975739600148e-05×R²
    0.000191739999999996×8.08975739600148e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.08975739600148e-05×40589641000000     		ar = 1146539.15989529m²