Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18894 / 15249
↖ ↑ ↗
← N 12.372197°
E 27.575683°		 ← 1 193.27 m → N 12.372197°
E 27.586670°		 →
↑
1 193.29 m
↓
↑
1 193.29 m
↓
N 12.361466°
E 27.575683°		 ← 1 193.32 m →
1 423 942 m²		 N 12.361466°
E 27.586670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576614379882812 y=0.465377807617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576614379882812 × 215)
    floor (0.576614379882812 × 32768)
    floor (18894.5)     		tx = 18894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465377807617188 × 215)
    floor (0.465377807617188 × 32768)
    floor (15249.5)     		ty = 15249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18894 / 15249 ti = "15/18894/15249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18894/15249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18894 ÷ 215
    18894 ÷ 32768     		x = 0.57659912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15249 ÷ 215
    15249 ÷ 32768     		y = 0.465362548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57659912109375 × 2 - 1) × π
    0.1531982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48128647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465362548828125 × 2 - 1) × π
    0.06927490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.217633524275055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48128647} λ = 0.48128647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.217633524275055))-π/2
    2×atan(1.24313140664637)-π/2
    2×0.893365953330255-π/2
    1.78673190666051-1.57079632675     		φ = 0.21593558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48128647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.575683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21593558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.372197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18894 KachelY 15249 0.48128647 0.21593558 27.575683 12.372197
    Oben rechts KachelX + 1 18895 KachelY 15249 0.48147822 0.21593558 27.586670 12.372197
    Unten links KachelX 18894 KachelY + 1 15250 0.48128647 0.21574828 27.575683 12.361466
    Unten rechts KachelX + 1 18895 KachelY + 1 15250 0.48147822 0.21574828 27.586670 12.361466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21593558-0.21574828) × R
    0.000187300000000001 × 6371000     		dl = 1193.28830000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21593558-0.21574828) × R
    0.000187300000000001 × 6371000     		dr = 1193.28830000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48128647-0.48147822) × cos(0.21593558) × R
    0.000191749999999991 × 0.97677636307047 × 6371000     		do = 1193.26834359908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48128647-0.48147822) × cos(0.21574828) × R
    0.000191749999999991 × 0.976816477092368 × 6371000     		du = 1193.3173484627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21593558)-sin(0.21574828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97677636307047-0.976816477092368)×R²
    abs(0.48147822-0.48128647)×4.01140218974083e-05×R²
    0.000191749999999991×4.01140218974083e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.01140218974083e-05×40589641000000     		ar = 1423942.3958052m²