Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18894 / 14219
↖ ↑ ↗
← N 23.130257°
E 27.575683°		 ← 1 123.44 m → N 23.130257°
E 27.586670°		 →
↑
1 123.46 m
↓
↑
1 123.46 m
↓
N 23.120153°
E 27.575683°		 ← 1 123.52 m →
1 262 186 m²		 N 23.120153°
E 27.586670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576614379882812 y=0.433944702148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576614379882812 × 215)
    floor (0.576614379882812 × 32768)
    floor (18894.5)     		tx = 18894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433944702148438 × 215)
    floor (0.433944702148438 × 32768)
    floor (14219.5)     		ty = 14219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18894 / 14219 ti = "15/18894/14219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18894/14219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18894 ÷ 215
    18894 ÷ 32768     		x = 0.57659912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14219 ÷ 215
    14219 ÷ 32768     		y = 0.433929443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57659912109375 × 2 - 1) × π
    0.1531982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48128647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433929443359375 × 2 - 1) × π
    0.13214111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.415133550709686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48128647} λ = 0.48128647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.415133550709686))-π/2
    2×atan(1.5145729994848)-π/2
    2×0.987247735750195-π/2
    1.97449547150039-1.57079632675     		φ = 0.40369914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48128647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.575683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40369914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.130257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18894 KachelY 14219 0.48128647 0.40369914 27.575683 23.130257
    Oben rechts KachelX + 1 18895 KachelY 14219 0.48147822 0.40369914 27.586670 23.130257
    Unten links KachelX 18894 KachelY + 1 14220 0.48128647 0.40352280 27.575683 23.120153
    Unten rechts KachelX + 1 18895 KachelY + 1 14220 0.48147822 0.40352280 27.586670 23.120153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40369914-0.40352280) × R
    0.000176339999999997 × 6371000     		dl = 1123.46213999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40369914-0.40352280) × R
    0.000176339999999997 × 6371000     		dr = 1123.46213999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48128647-0.48147822) × cos(0.40369914) × R
    0.000191749999999991 × 0.919614182596515 × 6371000     		do = 1123.43678031651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48128647-0.48147822) × cos(0.40352280) × R
    0.000191749999999991 × 0.919683438671307 × 6371000     		du = 1123.52138625578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40369914)-sin(0.40352280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919614182596515-0.919683438671307)×R²
    abs(0.48147822-0.48128647)×6.92560747918014e-05×R²
    0.000191749999999991×6.92560747918014e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.92560747918014e-05×40589641000000     		ar = 1262186.21842451m²