Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18892 / 13900
↖ ↑ ↗
← N 26.313113°
E 27.553711°		 ← 1 095 m → N 26.313113°
E 27.564697°		 →
↑
1 095.05 m
↓
↑
1 095.05 m
↓
N 26.303265°
E 27.553711°		 ← 1 095.10 m →
1 199 130 m²		 N 26.303265°
E 27.564697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576553344726562 y=0.424209594726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576553344726562 × 215)
    floor (0.576553344726562 × 32768)
    floor (18892.5)     		tx = 18892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424209594726562 × 215)
    floor (0.424209594726562 × 32768)
    floor (13900.5)     		ty = 13900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18892 / 13900 ti = "15/18892/13900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18892/13900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18892 ÷ 215
    18892 ÷ 32768     		x = 0.5765380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13900 ÷ 215
    13900 ÷ 32768     		y = 0.4241943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5765380859375 × 2 - 1) × π
    0.153076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48090298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4241943359375 × 2 - 1) × π
    0.151611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.476301034624878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48090298} λ = 0.48090298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476301034624878))-π/2
    2×atan(1.61010764116006)-π/2
    2×1.01502338937919-π/2
    2.03004677875839-1.57079632675     		φ = 0.45925045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48090298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.553711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45925045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.313113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18892 KachelY 13900 0.48090298 0.45925045 27.553711 26.313113
    Oben rechts KachelX + 1 18893 KachelY 13900 0.48109472 0.45925045 27.564697 26.313113
    Unten links KachelX 18892 KachelY + 1 13901 0.48090298 0.45907857 27.553711 26.303265
    Unten rechts KachelX + 1 18893 KachelY + 1 13901 0.48109472 0.45907857 27.564697 26.303265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45925045-0.45907857) × R
    0.000171879999999958 × 6371000     		dl = 1095.04747999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45925045-0.45907857) × R
    0.000171879999999958 × 6371000     		dr = 1095.04747999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48090298-0.48109472) × cos(0.45925045) × R
    0.000191739999999996 × 0.896385007085516 × 6371000     		do = 1095.00199907837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48090298-0.48109472) × cos(0.45907857) × R
    0.000191739999999996 × 0.896461184182688 × 6371000     		du = 1095.09505515698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45925045)-sin(0.45907857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896385007085516-0.896461184182688)×R²
    abs(0.48109472-0.48090298)×7.61770971722253e-05×R²
    0.000191739999999996×7.61770971722253e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.61770971722253e-05×40589641000000     		ar = 1199130.13304955m²