Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 18891 / 8121
↖ ↑ ↗
← N 82.701102°
W128.114319°		 ← 38.79 m → N 82.701102°
W128.111573°		 →
↑
38.80 m
↓
↑
38.80 m
↓
N 82.700753°
W128.114319°		 ← 38.80 m →
1 505 m²		 N 82.700753°
W128.111573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144130706787109 y=0.0619621276855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144130706787109 × 217)
    floor (0.144130706787109 × 131072)
    floor (18891.5)     		tx = 18891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0619621276855469 × 217)
    floor (0.0619621276855469 × 131072)
    floor (8121.5)     		ty = 8121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18891 / 8121 ti = "17/18891/8121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18891/8121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18891 ÷ 217
    18891 ÷ 131072     		x = 0.144126892089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8121 ÷ 217
    8121 ÷ 131072     		y = 0.0619583129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144126892089844 × 2 - 1) × π
    -0.711746215820312 × 3.1415926535     		Λ = -2.23601668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0619583129882812 × 2 - 1) × π
    0.876083374023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.75229709168552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23601668} λ = -2.23601668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75229709168552))-π/2
    2×atan(15.6786057456397)-π/2
    2×1.50710142283714-π/2
    3.01420284567427-1.57079632675     		φ = 1.44340652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23601668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.114319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44340652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.701102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18891 KachelY 8121 -2.23601668 1.44340652 -128.114319 82.701102
    Oben rechts KachelX + 1 18892 KachelY 8121 -2.23596875 1.44340652 -128.111573 82.701102
    Unten links KachelX 18891 KachelY + 1 8122 -2.23601668 1.44340043 -128.114319 82.700753
    Unten rechts KachelX + 1 18892 KachelY + 1 8122 -2.23596875 1.44340043 -128.111573 82.700753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44340652-1.44340043) × R
    6.08999999984761e-06 × 6371000     		dl = 38.7993899990291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44340652-1.44340043) × R
    6.08999999984761e-06 × 6371000     		dr = 38.7993899990291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23601668--2.23596875) × cos(1.44340652) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.127045535835699 × 6371000     		do = 38.7948827252505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23601668--2.23596875) × cos(1.44340043) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.127051576485376 × 6371000     		du = 38.7967273102986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44340652)-sin(1.44340043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127045535835699-0.127051576485376)×R²
    abs(-2.23596875--2.23601668)×6.04064967768547e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.04064967768547e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.04064967768547e-06×40589641000000     		ar = 1505.2535693299m²