Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18891 / 14465
↖ ↑ ↗
← N 20.622502°
E 27.542725°		 ← 1 143.36 m → N 20.622502°
E 27.553711°		 →
↑
1 143.34 m
↓
↑
1 143.34 m
↓
N 20.612220°
E 27.542725°		 ← 1 143.44 m →
1 307 291 m²		 N 20.612220°
E 27.553711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576522827148438 y=0.441452026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576522827148438 × 215)
    floor (0.576522827148438 × 32768)
    floor (18891.5)     		tx = 18891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441452026367188 × 215)
    floor (0.441452026367188 × 32768)
    floor (14465.5)     		ty = 14465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18891 / 14465 ti = "15/18891/14465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18891/14465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18891 ÷ 215
    18891 ÷ 32768     		x = 0.576507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14465 ÷ 215
    14465 ÷ 32768     		y = 0.441436767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576507568359375 × 2 - 1) × π
    0.15301513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48071123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441436767578125 × 2 - 1) × π
    0.11712646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.367963641483551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48071123} λ = 0.48071123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.367963641483551))-π/2
    2×atan(1.44478950761583)-π/2
    2×0.965363445605295-π/2
    1.93072689121059-1.57079632675     		φ = 0.35993056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48071123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.542725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35993056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.622502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18891 KachelY 14465 0.48071123 0.35993056 27.542725 20.622502
    Oben rechts KachelX + 1 18892 KachelY 14465 0.48090298 0.35993056 27.553711 20.622502
    Unten links KachelX 18891 KachelY + 1 14466 0.48071123 0.35975110 27.542725 20.612220
    Unten rechts KachelX + 1 18892 KachelY + 1 14466 0.48090298 0.35975110 27.553711 20.612220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35993056-0.35975110) × R
    0.00017946000000002 × 6371000     		dl = 1143.33966000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35993056-0.35975110) × R
    0.00017946000000002 × 6371000     		dr = 1143.33966000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48071123-0.48090298) × cos(0.35993056) × R
    0.000191749999999991 × 0.935921283344267 × 6371000     		do = 1143.35817464367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48071123-0.48090298) × cos(0.35975110) × R
    0.000191749999999991 × 0.935984475743722 × 6371000     		du = 1143.43537295915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35993056)-sin(0.35975110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935921283344267-0.935984475743722)×R²
    abs(0.48090298-0.48071123)×6.31923994545147e-05×R²
    0.000191749999999991×6.31923994545147e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.31923994545147e-05×40589641000000     		ar = 1307290.88211183m²