Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18890 / 13619
↖ ↑ ↗
← N 29.046566°
E 27.531738°		 ← 1 067.99 m → N 29.046566°
E 27.542725°		 →
↑
1 068.03 m
↓
↑
1 068.03 m
↓
N 29.036961°
E 27.531738°		 ← 1 068.09 m →
1 140 701 m²		 N 29.036961°
E 27.542725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576492309570312 y=0.415634155273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576492309570312 × 215)
    floor (0.576492309570312 × 32768)
    floor (18890.5)     		tx = 18890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415634155273438 × 215)
    floor (0.415634155273438 × 32768)
    floor (13619.5)     		ty = 13619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18890 / 13619 ti = "15/18890/13619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18890/13619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18890 ÷ 215
    18890 ÷ 32768     		x = 0.57647705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13619 ÷ 215
    13619 ÷ 32768     		y = 0.415618896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57647705078125 × 2 - 1) × π
    0.1529541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.48051948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415618896484375 × 2 - 1) × π
    0.16876220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.530182109797821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48051948} λ = 0.48051948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.530182109797821))-π/2
    2×atan(1.69924172901117)-π/2
    2×1.03887726664743-π/2
    2.07775453329486-1.57079632675     		φ = 0.50695821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48051948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.531738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50695821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.046566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18890 KachelY 13619 0.48051948 0.50695821 27.531738 29.046566
    Oben rechts KachelX + 1 18891 KachelY 13619 0.48071123 0.50695821 27.542725 29.046566
    Unten links KachelX 18890 KachelY + 1 13620 0.48051948 0.50679057 27.531738 29.036961
    Unten rechts KachelX + 1 18891 KachelY + 1 13620 0.48071123 0.50679057 27.542725 29.036961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50695821-0.50679057) × R
    0.000167639999999913 × 6371000     		dl = 1068.03443999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50695821-0.50679057) × R
    0.000167639999999913 × 6371000     		dr = 1068.03443999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48051948-0.48071123) × cos(0.50695821) × R
    0.000191749999999991 × 0.874225400498429 × 6371000     		do = 1067.9880625958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48051948-0.48071123) × cos(0.50679057) × R
    0.000191749999999991 × 0.874306780834714 × 6371000     		du = 1068.08748000878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50695821)-sin(0.50679057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874225400498429-0.874306780834714)×R²
    abs(0.48071123-0.48051948)×8.13803362851306e-05×R²
    0.000191749999999991×8.13803362851306e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.13803362851306e-05×40589641000000     		ar = 1140701.12564214m²