Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1889 / 1757
↖ ↑ ↗
← N 24.766785°
W 13.974610°		 ← 8 874.13 m → N 24.766785°
W 13.886718°		 →
↑
8 876.97 m
↓
↑
8 876.97 m
↓
N 24.686952°
W 13.974610°		 ← 8 879.83 m →
78 800 671 m²		 N 24.686952°
W 13.886718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4613037109375 y=0.4290771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4613037109375 × 212)
    floor (0.4613037109375 × 4096)
    floor (1889.5)     		tx = 1889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4290771484375 × 212)
    floor (0.4290771484375 × 4096)
    floor (1757.5)     		ty = 1757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1889 / 1757 ti = "12/1889/1757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1889/1757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1889 ÷ 212
    1889 ÷ 4096     		x = 0.461181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1757 ÷ 212
    1757 ÷ 4096     		y = 0.428955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461181640625 × 2 - 1) × π
    -0.07763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24390295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428955078125 × 2 - 1) × π
    0.14208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.446388409261963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24390295} λ = -0.24390295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.446388409261963))-π/2
    2×atan(1.56265829963318)-π/2
    2×1.00152913091972-π/2
    2.00305826183944-1.57079632675     		φ = 0.43226194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24390295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.974610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43226194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.766785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1889 KachelY 1757 -0.24390295 0.43226194 -13.974610 24.766785
    Oben rechts KachelX + 1 1890 KachelY 1757 -0.24236896 0.43226194 -13.886718 24.766785
    Unten links KachelX 1889 KachelY + 1 1758 -0.24390295 0.43086860 -13.974610 24.686952
    Unten rechts KachelX + 1 1890 KachelY + 1 1758 -0.24236896 0.43086860 -13.886718 24.686952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43226194-0.43086860) × R
    0.00139334000000002 × 6371000     		dl = 8876.96914000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43226194-0.43086860) × R
    0.00139334000000002 × 6371000     		dr = 8876.96914000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24390295--0.24236896) × cos(0.43226194) × R
    0.00153399000000001 × 0.908020488433387 × 6371000     		do = 8874.12989780993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24390295--0.24236896) × cos(0.43086860) × R
    0.00153399000000001 × 0.90860331284959 × 6371000     		du = 8879.82587013972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43226194)-sin(0.43086860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908020488433387-0.90860331284959)×R²
    abs(-0.24236896--0.24390295)×0.000582824416202055×R²
    0.00153399000000001×0.000582824416202055×6371000²
    0.00153399000000001×0.000582824416202055×40589641000000     		ar = 78800671.4811187m²