Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1889 / 1311
↖ ↑ ↗
← N 76.527061°
W 96.987305°		 ← 1 138.48 m → N 76.527061°
W 96.943359°		 →
↑
1 138.94 m
↓
↑
1 138.94 m
↓
N 76.516819°
W 96.987305°		 ← 1 139.33 m →
1 297 154 m²		 N 76.516819°
W 96.943359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.23065185546875 y=0.16009521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.23065185546875 × 213)
    floor (0.23065185546875 × 8192)
    floor (1889.5)     		tx = 1889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16009521484375 × 213)
    floor (0.16009521484375 × 8192)
    floor (1311.5)     		ty = 1311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1889 / 1311 ti = "13/1889/1311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1889/1311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1889 ÷ 213
    1889 ÷ 8192     		x = 0.2305908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1311 ÷ 213
    1311 ÷ 8192     		y = 0.1600341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2305908203125 × 2 - 1) × π
    -0.538818359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.69274780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1600341796875 × 2 - 1) × π
    0.679931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1360682470697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69274780} λ = -1.69274780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1360682470697))-π/2
    2×atan(8.46608554911647)-π/2
    2×1.45322275704149-π/2
    2.90644551408298-1.57079632675     		φ = 1.33564919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69274780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.987305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33564919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.527061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1889 KachelY 1311 -1.69274780 1.33564919 -96.987305 76.527061
    Oben rechts KachelX + 1 1890 KachelY 1311 -1.69198081 1.33564919 -96.943359 76.527061
    Unten links KachelX 1889 KachelY + 1 1312 -1.69274780 1.33547042 -96.987305 76.516819
    Unten rechts KachelX + 1 1890 KachelY + 1 1312 -1.69198081 1.33547042 -96.943359 76.516819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33564919-1.33547042) × R
    0.000178769999999995 × 6371000     		dl = 1138.94366999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33564919-1.33547042) × R
    0.000178769999999995 × 6371000     		dr = 1138.94366999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69274780--1.69198081) × cos(1.33564919) × R
    0.000766990000000023 × 0.232986075634639 × 6371000     		do = 1138.48489525213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69274780--1.69198081) × cos(1.33547042) × R
    0.000766990000000023 × 0.233159922173044 × 6371000     		du = 1139.33439519554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33564919)-sin(1.33547042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232986075634639-0.233159922173044)×R²
    abs(-1.69198081--1.69274780)×0.000173846538405409×R²
    0.000766990000000023×0.000173846538405409×6371000²
    0.000766990000000023×0.000173846538405409×40589641000000     		ar = 1297153.93458197m²