Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18889 / 8122
↖ ↑ ↗
← N 82.700753°
W128.119812°		 ← 38.80 m → N 82.700753°
W128.117065°		 →
↑
38.80 m
↓
↑
38.80 m
↓
N 82.700404°
W128.119812°		 ← 38.81 m →
1 506 m²		 N 82.700404°
W128.117065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144115447998047 y=0.0619697570800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144115447998047 × 217)
    floor (0.144115447998047 × 131072)
    floor (18889.5)     		tx = 18889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0619697570800781 × 217)
    floor (0.0619697570800781 × 131072)
    floor (8122.5)     		ty = 8122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18889 / 8122 ti = "17/18889/8122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18889/8122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18889 ÷ 217
    18889 ÷ 131072     		x = 0.144111633300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8122 ÷ 217
    8122 ÷ 131072     		y = 0.0619659423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144111633300781 × 2 - 1) × π
    -0.711776733398438 × 3.1415926535     		Λ = -2.23611256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0619659423828125 × 2 - 1) × π
    0.876068115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.7522491547859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23611256} λ = -2.23611256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7522491547859))-π/2
    2×atan(15.6778541799039)-π/2
    2×1.50709837768016-π/2
    3.01419675536033-1.57079632675     		φ = 1.44340043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23611256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.119812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44340043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.700753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18889 KachelY 8122 -2.23611256 1.44340043 -128.119812 82.700753
    Oben rechts KachelX + 1 18890 KachelY 8122 -2.23606462 1.44340043 -128.117065 82.700753
    Unten links KachelX 18889 KachelY + 1 8123 -2.23611256 1.44339434 -128.119812 82.700404
    Unten rechts KachelX + 1 18890 KachelY + 1 8123 -2.23606462 1.44339434 -128.117065 82.700404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44340043-1.44339434) × R
    6.09000000006965e-06 × 6371000     		dl = 38.7993900004437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44340043-1.44339434) × R
    6.09000000006965e-06 × 6371000     		dr = 38.7993900004437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23611256--2.23606462) × cos(1.44340043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.127051576485376 × 6371000     		do = 38.8048217661872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23611256--2.23606462) × cos(1.44339434) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.127057617130342 × 6371000     		du = 38.806666734646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44340043)-sin(1.44339434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127051576485376-0.127057617130342)×R²
    abs(-2.23606462--2.23611256)×6.04064496578793e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.04064496578793e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.04064496578793e-06×40589641000000     		ar = 1505.6392053374m²