Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18888 / 14456
↖ ↑ ↗
← N 20.715015°
E 27.509766°		 ← 1 142.60 m → N 20.715015°
E 27.520752°		 →
↑
1 142.70 m
↓
↑
1 142.70 m
↓
N 20.704739°
E 27.509766°		 ← 1 142.68 m →
1 305 699 m²		 N 20.704739°
E 27.520752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576431274414062 y=0.441177368164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576431274414062 × 215)
    floor (0.576431274414062 × 32768)
    floor (18888.5)     		tx = 18888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441177368164062 × 215)
    floor (0.441177368164062 × 32768)
    floor (14456.5)     		ty = 14456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18888 / 14456 ti = "15/18888/14456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18888/14456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18888 ÷ 215
    18888 ÷ 32768     		x = 0.576416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14456 ÷ 215
    14456 ÷ 32768     		y = 0.441162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576416015625 × 2 - 1) × π
    0.15283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48013599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441162109375 × 2 - 1) × π
    0.11767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.369689369869873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48013599} λ = 0.48013599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.369689369869873))-π/2
    2×atan(1.44728497451109)-π/2
    2×0.966170772837346-π/2
    1.93234154567469-1.57079632675     		φ = 0.36154522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48013599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.509766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36154522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.715015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18888 KachelY 14456 0.48013599 0.36154522 27.509766 20.715015
    Oben rechts KachelX + 1 18889 KachelY 14456 0.48032773 0.36154522 27.520752 20.715015
    Unten links KachelX 18888 KachelY + 1 14457 0.48013599 0.36136586 27.509766 20.704739
    Unten rechts KachelX + 1 18889 KachelY + 1 14457 0.48032773 0.36136586 27.520752 20.704739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36154522-0.36136586) × R
    0.000179360000000017 × 6371000     		dl = 1142.70256000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36154522-0.36136586) × R
    0.000179360000000017 × 6371000     		dr = 1142.70256000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48013599-0.48032773) × cos(0.36154522) × R
    0.000191739999999996 × 0.935351365381345 × 6371000     		do = 1142.60234925543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48013599-0.48032773) × cos(0.36136586) × R
    0.000191739999999996 × 0.93541479355124 × 6371000     		du = 1142.67983155632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36154522)-sin(0.36136586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935351365381345-0.93541479355124)×R²
    abs(0.48032773-0.48013599)×6.3428169895019e-05×R²
    0.000191739999999996×6.3428169895019e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.3428169895019e-05×40589641000000     		ar = 1305698.90266817m²