Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18887 / 8118
↖ ↑ ↗
← N 82.702149°
W128.125305°		 ← 38.80 m → N 82.702149°
W128.122558°		 →
↑
38.80 m
↓
↑
38.80 m
↓
N 82.701800°
W128.125305°		 ← 38.80 m →
1 505 m²		 N 82.701800°
W128.122558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144100189208984 y=0.0619392395019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144100189208984 × 217)
    floor (0.144100189208984 × 131072)
    floor (18887.5)     		tx = 18887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0619392395019531 × 217)
    floor (0.0619392395019531 × 131072)
    floor (8118.5)     		ty = 8118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18887 / 8118 ti = "17/18887/8118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18887/8118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18887 ÷ 217
    18887 ÷ 131072     		x = 0.144096374511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8118 ÷ 217
    8118 ÷ 131072     		y = 0.0619354248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144096374511719 × 2 - 1) × π
    -0.711807250976562 × 3.1415926535     		Λ = -2.23620843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0619354248046875 × 2 - 1) × π
    0.876129150390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.75244090238438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23620843} λ = -2.23620843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75244090238438))-π/2
    2×atan(15.6808606590256)-π/2
    2×1.50711055743934-π/2
    3.01422111487869-1.57079632675     		φ = 1.44342479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23620843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.125305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44342479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.702149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18887 KachelY 8118 -2.23620843 1.44342479 -128.125305 82.702149
    Oben rechts KachelX + 1 18888 KachelY 8118 -2.23616049 1.44342479 -128.122558 82.702149
    Unten links KachelX 18887 KachelY + 1 8119 -2.23620843 1.44341870 -128.125305 82.701800
    Unten rechts KachelX + 1 18888 KachelY + 1 8119 -2.23616049 1.44341870 -128.122558 82.701800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44342479-1.44341870) × R
    6.08999999984761e-06 × 6371000     		dl = 38.7993899990291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44342479-1.44341870) × R
    6.08999999984761e-06 × 6371000     		dr = 38.7993899990291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23620843--2.23616049) × cos(1.44342479) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.127027413858395 × 6371000     		do = 38.7974418779611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23620843--2.23616049) × cos(1.44341870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.127033454522208 × 6371000     		du = 38.7992868521761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44342479)-sin(1.44341870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127027413858395-0.127033454522208)×R²
    abs(-2.23616049--2.23620843)×6.04066381265644e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.04066381265644e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.04066381265644e-06×40589641000000     		ar = 1505.35287038293m²