Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18886 / 13642
↖ ↑ ↗
← N 28.825425°
E 27.487793°		 ← 1 070.27 m → N 28.825425°
E 27.498779°		 →
↑
1 070.33 m
↓
↑
1 070.33 m
↓
N 28.815800°
E 27.487793°		 ← 1 070.37 m →
1 145 592 m²		 N 28.815800°
E 27.498779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576370239257812 y=0.416336059570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576370239257812 × 215)
    floor (0.576370239257812 × 32768)
    floor (18886.5)     		tx = 18886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416336059570312 × 215)
    floor (0.416336059570312 × 32768)
    floor (13642.5)     		ty = 13642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18886 / 13642 ti = "15/18886/13642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18886/13642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18886 ÷ 215
    18886 ÷ 32768     		x = 0.57635498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13642 ÷ 215
    13642 ÷ 32768     		y = 0.41632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57635498046875 × 2 - 1) × π
    0.1527099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47975249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41632080078125 × 2 - 1) × π
    0.1673583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.525771915032776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47975249} λ = 0.47975249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.525771915032776))-π/2
    2×atan(1.69176424273839)-π/2
    2×1.03694745392714-π/2
    2.07389490785428-1.57079632675     		φ = 0.50309858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47975249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.487793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50309858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.825425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18886 KachelY 13642 0.47975249 0.50309858 27.487793 28.825425
    Oben rechts KachelX + 1 18887 KachelY 13642 0.47994424 0.50309858 27.498779 28.825425
    Unten links KachelX 18886 KachelY + 1 13643 0.47975249 0.50293058 27.487793 28.815800
    Unten rechts KachelX + 1 18887 KachelY + 1 13643 0.47994424 0.50293058 27.498779 28.815800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50309858-0.50293058) × R
    0.000167999999999946 × 6371000     		dl = 1070.32799999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50309858-0.50293058) × R
    0.000167999999999946 × 6371000     		dr = 1070.32799999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47975249-0.47994424) × cos(0.50309858) × R
    0.000191750000000046 × 0.876092812963516 × 6371000     		do = 1070.2693669594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47975249-0.47994424) × cos(0.50293058) × R
    0.000191750000000046 × 0.876173800538453 × 6371000     		du = 1070.3683045597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50309858)-sin(0.50293058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876092812963516-0.876173800538453)×R²
    abs(0.47994424-0.47975249)×8.09875749371303e-05×R²
    0.000191750000000046×8.09875749371303e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.09875749371303e-05×40589641000000     		ar = 1145592.22153477m²