Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18885 / 15041
↖ ↑ ↗
← N 14.594215°
E 27.476806°		 ← 1 182.22 m → N 14.594215°
E 27.487793°		 →
↑
1 182.20 m
↓
↑
1 182.20 m
↓
N 14.583584°
E 27.476806°		 ← 1 182.28 m →
1 397 661 m²		 N 14.583584°
E 27.487793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576339721679688 y=0.459030151367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576339721679688 × 215)
    floor (0.576339721679688 × 32768)
    floor (18885.5)     		tx = 18885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459030151367188 × 215)
    floor (0.459030151367188 × 32768)
    floor (15041.5)     		ty = 15041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18885 / 15041 ti = "15/18885/15041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18885/15041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18885 ÷ 215
    18885 ÷ 32768     		x = 0.576324462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15041 ÷ 215
    15041 ÷ 32768     		y = 0.459014892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576324462890625 × 2 - 1) × π
    0.15264892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47956074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459014892578125 × 2 - 1) × π
    0.08197021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.257517024758942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47956074} λ = 0.47956074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.257517024758942))-π/2
    2×atan(1.29371383595903)-π/2
    2×0.912756720044745-π/2
    1.82551344008949-1.57079632675     		φ = 0.25471711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47956074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.476806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25471711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.594215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18885 KachelY 15041 0.47956074 0.25471711 27.476806 14.594215
    Oben rechts KachelX + 1 18886 KachelY 15041 0.47975249 0.25471711 27.487793 14.594215
    Unten links KachelX 18885 KachelY + 1 15042 0.47956074 0.25453155 27.476806 14.583584
    Unten rechts KachelX + 1 18886 KachelY + 1 15042 0.47975249 0.25453155 27.487793 14.583584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25471711-0.25453155) × R
    0.000185560000000029 × 6371000     		dl = 1182.20276000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25471711-0.25453155) × R
    0.000185560000000029 × 6371000     		dr = 1182.20276000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47956074-0.47975249) × cos(0.25471711) × R
    0.000191749999999991 × 0.967734614671797 × 6371000     		do = 1182.22258886664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47956074-0.47975249) × cos(0.25453155) × R
    0.000191749999999991 × 0.9677813538713 × 6371000     		du = 1182.27968730726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25471711)-sin(0.25453155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967734614671797-0.9677813538713)×R²
    abs(0.47975249-0.47956074)×4.67391995024879e-05×R²
    0.000191749999999991×4.67391995024879e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.67391995024879e-05×40589641000000     		ar = 1397660.56247014m²