Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18884 / 8119
↖ ↑ ↗
← N 82.701800°
W128.133545°		 ← 38.80 m → N 82.701800°
W128.130798°		 →
↑
38.80 m
↓
↑
38.80 m
↓
N 82.701451°
W128.133545°		 ← 38.80 m →
1 505 m²		 N 82.701451°
W128.130798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144077301025391 y=0.0619468688964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144077301025391 × 217)
    floor (0.144077301025391 × 131072)
    floor (18884.5)     		tx = 18884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0619468688964844 × 217)
    floor (0.0619468688964844 × 131072)
    floor (8119.5)     		ty = 8119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18884 / 8119 ti = "17/18884/8119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18884/8119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18884 ÷ 217
    18884 ÷ 131072     		x = 0.144073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8119 ÷ 217
    8119 ÷ 131072     		y = 0.0619430541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144073486328125 × 2 - 1) × π
    -0.71185302734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23635224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0619430541992188 × 2 - 1) × π
    0.876113891601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.75239296548476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23635224} λ = -2.23635224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75239296548476))-π/2
    2×atan(15.6801089851988)-π/2
    2×1.50710751271672-π/2
    3.01421502543344-1.57079632675     		φ = 1.44341870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23635224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.133545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44341870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.701800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18884 KachelY 8119 -2.23635224 1.44341870 -128.133545 82.701800
    Oben rechts KachelX + 1 18885 KachelY 8119 -2.23630430 1.44341870 -128.130798 82.701800
    Unten links KachelX 18884 KachelY + 1 8120 -2.23635224 1.44341261 -128.133545 82.701451
    Unten rechts KachelX + 1 18885 KachelY + 1 8120 -2.23630430 1.44341261 -128.130798 82.701451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44341870-1.44341261) × R
    6.09000000006965e-06 × 6371000     		dl = 38.7993900004437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44341870-1.44341261) × R
    6.09000000006965e-06 × 6371000     		dr = 38.7993900004437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23635224--2.23630430) × cos(1.44341870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.127033454522208 × 6371000     		do = 38.7992868521761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23635224--2.23630430) × cos(1.44341261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.127039495181309 × 6371000     		du = 38.8011318249523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44341870)-sin(1.44341261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127033454522208-0.127039495181309)×R²
    abs(-2.23630430--2.23635224)×6.04065910139728e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.04065910139728e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.04065910139728e-06×40589641000000     		ar = 1505.42445412154m²