Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18883 / 14445
↖ ↑ ↗
← N 20.828010°
E 27.454834°		 ← 1 141.81 m → N 20.828010°
E 27.465821°		 →
↑
1 141.87 m
↓
↑
1 141.87 m
↓
N 20.817741°
E 27.454834°		 ← 1 141.89 m →
1 303 845 m²		 N 20.817741°
E 27.465821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576278686523438 y=0.440841674804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576278686523438 × 215)
    floor (0.576278686523438 × 32768)
    floor (18883.5)     		tx = 18883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440841674804688 × 215)
    floor (0.440841674804688 × 32768)
    floor (14445.5)     		ty = 14445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18883 / 14445 ti = "15/18883/14445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18883/14445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18883 ÷ 215
    18883 ÷ 32768     		x = 0.576263427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14445 ÷ 215
    14445 ÷ 32768     		y = 0.440826416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576263427734375 × 2 - 1) × π
    0.15252685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47917725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440826416015625 × 2 - 1) × π
    0.11834716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.371798593453156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47917725} λ = 0.47917725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371798593453156))-π/2
    2×atan(1.45034084373385)-π/2
    2×0.967156836893111-π/2
    1.93431367378622-1.57079632675     		φ = 0.36351735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47917725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.454834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36351735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.828010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18883 KachelY 14445 0.47917725 0.36351735 27.454834 20.828010
    Oben rechts KachelX + 1 18884 KachelY 14445 0.47936900 0.36351735 27.465821 20.828010
    Unten links KachelX 18883 KachelY + 1 14446 0.47917725 0.36333812 27.454834 20.817741
    Unten rechts KachelX + 1 18884 KachelY + 1 14446 0.47936900 0.36333812 27.465821 20.817741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36351735-0.36333812) × R
    0.00017923000000003 × 6371000     		dl = 1141.87433000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36351735-0.36333812) × R
    0.00017923000000003 × 6371000     		dr = 1141.87433000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47917725-0.47936900) × cos(0.36351735) × R
    0.000191749999999991 × 0.934651965123164 × 6371000     		do = 1141.80752568403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47917725-0.47936900) × cos(0.36333812) × R
    0.000191749999999991 × 0.934715677832835 × 6371000     		du = 1141.88535963089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36351735)-sin(0.36333812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934651965123164-0.934715677832835)×R²
    abs(0.47936900-0.47917725)×6.37127096716483e-05×R²
    0.000191749999999991×6.37127096716483e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.37127096716483e-05×40589641000000     		ar = 1303845.14516311m²