Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18883 / 14443
↖ ↑ ↗
← N 20.848545°
E 27.454834°		 ← 1 141.65 m → N 20.848545°
E 27.465821°		 →
↑
1 141.68 m
↓
↑
1 141.68 m
↓
N 20.838278°
E 27.454834°		 ← 1 141.73 m →
1 303 449 m²		 N 20.838278°
E 27.465821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576278686523438 y=0.440780639648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576278686523438 × 215)
    floor (0.576278686523438 × 32768)
    floor (18883.5)     		tx = 18883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440780639648438 × 215)
    floor (0.440780639648438 × 32768)
    floor (14443.5)     		ty = 14443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18883 / 14443 ti = "15/18883/14443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18883/14443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18883 ÷ 215
    18883 ÷ 32768     		x = 0.576263427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14443 ÷ 215
    14443 ÷ 32768     		y = 0.440765380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576263427734375 × 2 - 1) × π
    0.15252685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47917725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440765380859375 × 2 - 1) × π
    0.11846923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.372182088650116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47917725} λ = 0.47917725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.372182088650116))-π/2
    2×atan(1.45089714914479)-π/2
    2×0.967336041940992-π/2
    1.93467208388198-1.57079632675     		φ = 0.36387576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47917725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.454834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36387576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.848545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18883 KachelY 14443 0.47917725 0.36387576 27.454834 20.848545
    Oben rechts KachelX + 1 18884 KachelY 14443 0.47936900 0.36387576 27.465821 20.848545
    Unten links KachelX 18883 KachelY + 1 14444 0.47917725 0.36369656 27.454834 20.838278
    Unten rechts KachelX + 1 18884 KachelY + 1 14444 0.47936900 0.36369656 27.465821 20.838278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36387576-0.36369656) × R
    0.00017919999999999 × 6371000     		dl = 1141.68319999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36387576-0.36369656) × R
    0.00017919999999999 × 6371000     		dr = 1141.68319999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47917725-0.47936900) × cos(0.36387576) × R
    0.000191749999999991 × 0.934524467428237 × 6371000     		do = 1141.65176949562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47917725-0.47936900) × cos(0.36369656) × R
    0.000191749999999991 × 0.934588229503929 × 6371000     		du = 1141.72966374995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36387576)-sin(0.36369656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934524467428237-0.934588229503929)×R²
    abs(0.47936900-0.47917725)×6.37620756912538e-05×R²
    0.000191749999999991×6.37620756912538e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.37620756912538e-05×40589641000000     		ar = 1303449.11425232m²