Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18881 / 13638
↖ ↑ ↗
← N 28.863918°
E 27.432861°		 ← 1 069.87 m → N 28.863918°
E 27.443848°		 →
↑
1 069.88 m
↓
↑
1 069.88 m
↓
N 28.854297°
E 27.432861°		 ← 1 069.97 m →
1 144 691 m²		 N 28.854297°
E 27.443848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576217651367188 y=0.416213989257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576217651367188 × 215)
    floor (0.576217651367188 × 32768)
    floor (18881.5)     		tx = 18881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416213989257812 × 215)
    floor (0.416213989257812 × 32768)
    floor (13638.5)     		ty = 13638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18881 / 13638 ti = "15/18881/13638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18881/13638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18881 ÷ 215
    18881 ÷ 32768     		x = 0.576202392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13638 ÷ 215
    13638 ÷ 32768     		y = 0.41619873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576202392578125 × 2 - 1) × π
    0.15240478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47879375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41619873046875 × 2 - 1) × π
    0.1676025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.526538905426697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47879375} λ = 0.47879375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.526538905426697))-π/2
    2×atan(1.69306230739928)-π/2
    2×1.0372833691732-π/2
    2.0745667383464-1.57079632675     		φ = 0.50377041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47879375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.432861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50377041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.863918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18881 KachelY 13638 0.47879375 0.50377041 27.432861 28.863918
    Oben rechts KachelX + 1 18882 KachelY 13638 0.47898550 0.50377041 27.443848 28.863918
    Unten links KachelX 18881 KachelY + 1 13639 0.47879375 0.50360248 27.432861 28.854297
    Unten rechts KachelX + 1 18882 KachelY + 1 13639 0.47898550 0.50360248 27.443848 28.854297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50377041-0.50360248) × R
    0.000167930000000038 × 6371000     		dl = 1069.88203000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50377041-0.50360248) × R
    0.000167930000000038 × 6371000     		dr = 1069.88203000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47879375-0.47898550) × cos(0.50377041) × R
    0.000191749999999991 × 0.875768697482478 × 6371000     		do = 1069.87341476592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47879375-0.47898550) × cos(0.50360248) × R
    0.000191749999999991 × 0.875849750145184 × 6371000     		du = 1069.97243188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50377041)-sin(0.50360248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875768697482478-0.875849750145184)×R²
    abs(0.47898550-0.47879375)×8.10526627057495e-05×R²
    0.000191749999999991×8.10526627057495e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.10526627057495e-05×40589641000000     		ar = 1144691.31183858m²