Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18881 / 10816
↖ ↑ ↗
← N 81.697845°
W128.141785°		 ← 44.10 m → N 81.697845°
W128.139038°		 →
↑
44.09 m
↓
↑
44.09 m
↓
N 81.697448°
W128.141785°		 ← 44.10 m →
1 944 m²		 N 81.697448°
W128.139038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144054412841797 y=0.0825233459472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144054412841797 × 217)
    floor (0.144054412841797 × 131072)
    floor (18881.5)     		tx = 18881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0825233459472656 × 217)
    floor (0.0825233459472656 × 131072)
    floor (10816.5)     		ty = 10816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18881 / 10816 ti = "17/18881/10816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18881/10816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18881 ÷ 217
    18881 ÷ 131072     		x = 0.144050598144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10816 ÷ 217
    10816 ÷ 131072     		y = 0.08251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144050598144531 × 2 - 1) × π
    -0.711898803710938 × 3.1415926535     		Λ = -2.23649605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08251953125 × 2 - 1) × π
    0.8349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62310714720947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23649605} λ = -2.23649605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62310714720947))-π/2
    2×atan(13.7784688738479)-π/2
    2×1.49834635210688-π/2
    2.99669270421376-1.57079632675     		φ = 1.42589638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23649605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.141785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42589638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.697845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18881 KachelY 10816 -2.23649605 1.42589638 -128.141785 81.697845
    Oben rechts KachelX + 1 18882 KachelY 10816 -2.23644811 1.42589638 -128.139038 81.697845
    Unten links KachelX 18881 KachelY + 1 10817 -2.23649605 1.42588946 -128.141785 81.697448
    Unten rechts KachelX + 1 18882 KachelY + 1 10817 -2.23644811 1.42588946 -128.139038 81.697448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42589638-1.42588946) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dl = 44.0873199994287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42589638-1.42588946) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dr = 44.0873199994287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23649605--2.23644811) × cos(1.42589638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144393425750109 × 6371000     		do = 44.1014689108332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23649605--2.23644811) × cos(1.42588946) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144400273227528 × 6371000     		du = 44.1035603066911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42589638)-sin(1.42588946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144393425750109-0.144400273227528)×R²
    abs(-2.23644811--2.23649605)×6.84747741894198e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.84747741894198e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.84747741894198e-06×40589641000000     		ar = 1944.36167433736m²