Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18880 / 8128
↖ ↑ ↗
← N 82.698659°
W128.144531°		 ← 38.82 m → N 82.698659°
W128.141785°		 →
↑
38.80 m
↓
↑
38.80 m
↓
N 82.698310°
W128.144531°		 ← 38.82 m →
1 506 m²		 N 82.698310°
W128.141785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144046783447266 y=0.0620155334472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144046783447266 × 217)
    floor (0.144046783447266 × 131072)
    floor (18880.5)     		tx = 18880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0620155334472656 × 217)
    floor (0.0620155334472656 × 131072)
    floor (8128.5)     		ty = 8128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18880 / 8128 ti = "17/18880/8128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18880/8128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18880 ÷ 217
    18880 ÷ 131072     		x = 0.14404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8128 ÷ 217
    8128 ÷ 131072     		y = 0.06201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14404296875 × 2 - 1) × π
    -0.7119140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23654399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06201171875 × 2 - 1) × π
    0.8759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.75196153338818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23654399} λ = -2.23654399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75196153338818))-π/2
    2×atan(15.6733455419928)-π/2
    2×1.50708010369739-π/2
    3.01416020739477-1.57079632675     		φ = 1.44336388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23654399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.144531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44336388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.698659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18880 KachelY 8128 -2.23654399 1.44336388 -128.144531 82.698659
    Oben rechts KachelX + 1 18881 KachelY 8128 -2.23649605 1.44336388 -128.141785 82.698659
    Unten links KachelX 18880 KachelY + 1 8129 -2.23654399 1.44335779 -128.144531 82.698310
    Unten rechts KachelX + 1 18881 KachelY + 1 8129 -2.23649605 1.44335779 -128.141785 82.698310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44336388-1.44335779) × R
    6.08999999984761e-06 × 6371000     		dl = 38.7993899990291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44336388-1.44335779) × R
    6.08999999984761e-06 × 6371000     		dr = 38.7993899990291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23654399--2.23649605) × cos(1.44336388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.127087830203396 × 6371000     		do = 38.8158945848412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23654399--2.23649605) × cos(1.44335779) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.127093870820077 × 6371000     		du = 38.8177395446609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44336388)-sin(1.44335779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127087830203396-0.127093870820077)×R²
    abs(-2.23649605--2.23654399)×6.04061668052491e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.04061668052491e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.04061668052491e-06×40589641000000     		ar = 1506.06882399576m²