Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18880 / 14915
↖ ↑ ↗
← N 15.929638°
E 27.421875°		 ← 1 174.67 m → N 15.929638°
E 27.432861°		 →
↑
1 174.75 m
↓
↑
1 174.75 m
↓
N 15.919074°
E 27.421875°		 ← 1 174.73 m →
1 379 974 m²		 N 15.919074°
E 27.432861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576187133789062 y=0.455184936523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576187133789062 × 215)
    floor (0.576187133789062 × 32768)
    floor (18880.5)     		tx = 18880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455184936523438 × 215)
    floor (0.455184936523438 × 32768)
    floor (14915.5)     		ty = 14915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18880 / 14915 ti = "15/18880/14915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18880/14915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18880 ÷ 215
    18880 ÷ 32768     		x = 0.576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14915 ÷ 215
    14915 ÷ 32768     		y = 0.455169677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576171875 × 2 - 1) × π
    0.15234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47860201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455169677734375 × 2 - 1) × π
    0.08966064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.28167722216745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47860201} λ = 0.47860201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.28167722216745))-π/2
    2×atan(1.32535085706116)-π/2
    2×0.924410481391031-π/2
    1.84882096278206-1.57079632675     		φ = 0.27802464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47860201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27802464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.929638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18880 KachelY 14915 0.47860201 0.27802464 27.421875 15.929638
    Oben rechts KachelX + 1 18881 KachelY 14915 0.47879375 0.27802464 27.432861 15.929638
    Unten links KachelX 18880 KachelY + 1 14916 0.47860201 0.27784025 27.421875 15.919074
    Unten rechts KachelX + 1 18881 KachelY + 1 14916 0.47879375 0.27784025 27.432861 15.919074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27802464-0.27784025) × R
    0.000184389999999979 × 6371000     		dl = 1174.74868999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27802464-0.27784025) × R
    0.000184389999999979 × 6371000     		dr = 1174.74868999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47860201-0.47879375) × cos(0.27802464) × R
    0.000191739999999996 × 0.961599464808499 × 6371000     		do = 1174.66638548713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47860201-0.47879375) × cos(0.27784025) × R
    0.000191739999999996 × 0.961650055528432 × 6371000     		du = 1174.72818587315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27802464)-sin(0.27784025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.961599464808499-0.961650055528432)×R²
    abs(0.47879375-0.47860201)×5.05907199331856e-05×R²
    0.000191739999999996×5.05907199331856e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.05907199331856e-05×40589641000000     		ar = 1379974.10140919m²