Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18880 / 10815
↖ ↑ ↗
← N 81.698241°
W128.144531°		 ← 44.10 m → N 81.698241°
W128.141785°		 →
↑
44.09 m
↓
↑
44.09 m
↓
N 81.697845°
W128.144531°		 ← 44.10 m →
1 944 m²		 N 81.697845°
W128.141785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144046783447266 y=0.0825157165527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144046783447266 × 217)
    floor (0.144046783447266 × 131072)
    floor (18880.5)     		tx = 18880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0825157165527344 × 217)
    floor (0.0825157165527344 × 131072)
    floor (10815.5)     		ty = 10815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18880 / 10815 ti = "17/18880/10815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18880/10815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18880 ÷ 217
    18880 ÷ 131072     		x = 0.14404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10815 ÷ 217
    10815 ÷ 131072     		y = 0.0825119018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14404296875 × 2 - 1) × π
    -0.7119140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23654399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0825119018554688 × 2 - 1) × π
    0.834976196289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.62315508410909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23654399} λ = -2.23654399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62315508410909))-π/2
    2×atan(13.7791293867585)-π/2
    2×1.49834981291144-π/2
    2.99669962582287-1.57079632675     		φ = 1.42590330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23654399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.144531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42590330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.698241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18880 KachelY 10815 -2.23654399 1.42590330 -128.144531 81.698241
    Oben rechts KachelX + 1 18881 KachelY 10815 -2.23649605 1.42590330 -128.141785 81.698241
    Unten links KachelX 18880 KachelY + 1 10816 -2.23654399 1.42589638 -128.144531 81.697845
    Unten rechts KachelX + 1 18881 KachelY + 1 10816 -2.23649605 1.42589638 -128.141785 81.697845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42590330-1.42589638) × R
    6.92000000013238e-06 × 6371000     		dl = 44.0873200008434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42590330-1.42589638) × R
    6.92000000013238e-06 × 6371000     		dr = 44.0873200008434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23654399--2.23649605) × cos(1.42590330) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144386578265776 × 6371000     		do = 44.0993775128635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23654399--2.23649605) × cos(1.42589638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144393425750109 × 6371000     		du = 44.1014689108332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42590330)-sin(1.42589638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144386578265776-0.144393425750109)×R²
    abs(-2.23649605--2.23654399)×6.84748433363302e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.84748433363302e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.84748433363302e-06×40589641000000     		ar = 1944.26947030477m²