Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18879 / 14913
↖ ↑ ↗
← N 15.950766°
E 27.410889°		 ← 1 174.60 m → N 15.950766°
E 27.421875°		 →
↑
1 174.62 m
↓
↑
1 174.62 m
↓
N 15.940203°
E 27.410889°		 ← 1 174.67 m →
1 379 751 m²		 N 15.940203°
E 27.421875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576156616210938 y=0.455123901367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576156616210938 × 215)
    floor (0.576156616210938 × 32768)
    floor (18879.5)     		tx = 18879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455123901367188 × 215)
    floor (0.455123901367188 × 32768)
    floor (14913.5)     		ty = 14913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18879 / 14913 ti = "15/18879/14913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18879/14913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18879 ÷ 215
    18879 ÷ 32768     		x = 0.576141357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14913 ÷ 215
    14913 ÷ 32768     		y = 0.455108642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576141357421875 × 2 - 1) × π
    0.15228271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47841026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455108642578125 × 2 - 1) × π
    0.08978271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.28206071736441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47841026} λ = 0.47841026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.28206071736441))-π/2
    2×atan(1.32585922022032)-π/2
    2×0.924594856071993-π/2
    1.84918971214399-1.57079632675     		φ = 0.27839339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47841026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.410889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27839339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.950766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18879 KachelY 14913 0.47841026 0.27839339 27.410889 15.950766
    Oben rechts KachelX + 1 18880 KachelY 14913 0.47860201 0.27839339 27.421875 15.950766
    Unten links KachelX 18879 KachelY + 1 14914 0.47841026 0.27820902 27.410889 15.940203
    Unten rechts KachelX + 1 18880 KachelY + 1 14914 0.47860201 0.27820902 27.421875 15.940203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27839339-0.27820902) × R
    0.000184370000000045 × 6371000     		dl = 1174.62127000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27839339-0.27820902) × R
    0.000184370000000045 × 6371000     		dr = 1174.62127000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47841026-0.47860201) × cos(0.27839339) × R
    0.000191750000000046 × 0.961498193532492 × 6371000     		do = 1174.60393202367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47841026-0.47860201) × cos(0.27820902) × R
    0.000191750000000046 × 0.961548844140839 × 6371000     		du = 1174.66580879486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27839339)-sin(0.27820902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.961498193532492-0.961548844140839)×R²
    abs(0.47860201-0.47841026)×5.06506083466363e-05×R²
    0.000191750000000046×5.06506083466363e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.06506083466363e-05×40589641000000     		ar = 1379751.1071751m²