Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18879 / 14454
↖ ↑ ↗
← N 20.735566°
E 27.410889°		 ← 1 142.51 m → N 20.735566°
E 27.421875°		 →
↑
1 142.58 m
↓
↑
1 142.58 m
↓
N 20.725291°
E 27.410889°		 ← 1 142.58 m →
1 305 444 m²		 N 20.725291°
E 27.421875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576156616210938 y=0.441116333007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576156616210938 × 215)
    floor (0.576156616210938 × 32768)
    floor (18879.5)     		tx = 18879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441116333007812 × 215)
    floor (0.441116333007812 × 32768)
    floor (14454.5)     		ty = 14454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18879 / 14454 ti = "15/18879/14454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18879/14454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18879 ÷ 215
    18879 ÷ 32768     		x = 0.576141357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14454 ÷ 215
    14454 ÷ 32768     		y = 0.44110107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576141357421875 × 2 - 1) × π
    0.15228271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47841026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44110107421875 × 2 - 1) × π
    0.1177978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.370072865066834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47841026} λ = 0.47841026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.370072865066834))-π/2
    2×atan(1.44784010778611)-π/2
    2×0.966350112047674-π/2
    1.93270022409535-1.57079632675     		φ = 0.36190390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47841026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.410889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36190390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.735566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18879 KachelY 14454 0.47841026 0.36190390 27.410889 20.735566
    Oben rechts KachelX + 1 18880 KachelY 14454 0.47860201 0.36190390 27.421875 20.735566
    Unten links KachelX 18879 KachelY + 1 14455 0.47841026 0.36172456 27.410889 20.725291
    Unten rechts KachelX + 1 18880 KachelY + 1 14455 0.47860201 0.36172456 27.421875 20.725291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36190390-0.36172456) × R
    0.000179340000000028 × 6371000     		dl = 1142.57514000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36190390-0.36172456) × R
    0.000179340000000028 × 6371000     		dr = 1142.57514000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47841026-0.47860201) × cos(0.36190390) × R
    0.000191750000000046 × 0.935224432935028 × 6371000     		do = 1142.5068748327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47841026-0.47860201) × cos(0.36172456) × R
    0.000191750000000046 × 0.935287914198942 × 6371000     		du = 1142.58442603633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36190390)-sin(0.36172456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935224432935028-0.935287914198942)×R²
    abs(0.47860201-0.47841026)×6.34812639142002e-05×R²
    0.000191750000000046×6.34812639142002e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.34812639142002e-05×40589641000000     		ar = 1305444.26000058m²