Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18876 / 8284
↖ ↑ ↗
← N 82.644003°
W128.155518°		 ← 39.10 m → N 82.644003°
W128.152771°		 →
↑
39.05 m
↓
↑
39.05 m
↓
N 82.643652°
W128.155518°		 ← 39.11 m →
1 527 m²		 N 82.643652°
W128.152771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144016265869141 y=0.0632057189941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144016265869141 × 217)
    floor (0.144016265869141 × 131072)
    floor (18876.5)     		tx = 18876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0632057189941406 × 217)
    floor (0.0632057189941406 × 131072)
    floor (8284.5)     		ty = 8284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18876 / 8284 ti = "17/18876/8284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18876/8284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18876 ÷ 217
    18876 ÷ 131072     		x = 0.144012451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8284 ÷ 217
    8284 ÷ 131072     		y = 0.063201904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144012451171875 × 2 - 1) × π
    -0.71197509765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23673574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.063201904296875 × 2 - 1) × π
    0.87359619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.74448337704745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23673574} λ = -2.23673574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74448337704745))-π/2
    2×atan(15.5565749721141)-π/2
    2×1.50660314570415-π/2
    3.01320629140829-1.57079632675     		φ = 1.44240996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23673574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.155518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44240996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.644003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18876 KachelY 8284 -2.23673574 1.44240996 -128.155518 82.644003
    Oben rechts KachelX + 1 18877 KachelY 8284 -2.23668780 1.44240996 -128.152771 82.644003
    Unten links KachelX 18876 KachelY + 1 8285 -2.23673574 1.44240383 -128.155518 82.643652
    Unten rechts KachelX + 1 18877 KachelY + 1 8285 -2.23668780 1.44240383 -128.152771 82.643652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44240996-1.44240383) × R
    6.1300000000486e-06 × 6371000     		dl = 39.0542300003096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44240996-1.44240383) × R
    6.1300000000486e-06 × 6371000     		dr = 39.0542300003096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23673574--2.23668780) × cos(1.44240996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.128033957345999 × 6371000     		do = 39.1048661675047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23673574--2.23668780) × cos(1.44240383) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.128040036892374 × 6371000     		du = 39.106723017455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44240996)-sin(1.44240383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.128033957345999-0.128040036892374)×R²
    abs(-2.23668780--2.23673574)×6.07954637443786e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.07954637443786e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.07954637443786e-06×40589641000000     		ar = 1527.24669633853m²