Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18876 / 14452
↖ ↑ ↗
← N 20.756114°
E 27.377930°		 ← 1 142.29 m → N 20.756114°
E 27.388916°		 →
↑
1 142.38 m
↓
↑
1 142.38 m
↓
N 20.745840°
E 27.377930°		 ← 1 142.37 m →
1 304 981 m²		 N 20.745840°
E 27.388916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576065063476562 y=0.441055297851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576065063476562 × 215)
    floor (0.576065063476562 × 32768)
    floor (18876.5)     		tx = 18876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441055297851562 × 215)
    floor (0.441055297851562 × 32768)
    floor (14452.5)     		ty = 14452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18876 / 14452 ti = "15/18876/14452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18876/14452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18876 ÷ 215
    18876 ÷ 32768     		x = 0.5760498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14452 ÷ 215
    14452 ÷ 32768     		y = 0.4410400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5760498046875 × 2 - 1) × π
    0.152099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47783502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4410400390625 × 2 - 1) × π
    0.117919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.370456360263794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47783502} λ = 0.47783502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.370456360263794))-π/2
    2×atan(1.44839545399291)-π/2
    2×0.966529426909236-π/2
    1.93305885381847-1.57079632675     		φ = 0.36226253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47783502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.377930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36226253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.756114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18876 KachelY 14452 0.47783502 0.36226253 27.377930 20.756114
    Oben rechts KachelX + 1 18877 KachelY 14452 0.47802676 0.36226253 27.388916 20.756114
    Unten links KachelX 18876 KachelY + 1 14453 0.47783502 0.36208322 27.377930 20.745840
    Unten rechts KachelX + 1 18877 KachelY + 1 14453 0.47802676 0.36208322 27.388916 20.745840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36226253-0.36208322) × R
    0.000179310000000044 × 6371000     		dl = 1142.38401000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36226253-0.36208322) × R
    0.000179310000000044 × 6371000     		dr = 1142.38401000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47783502-0.47802676) × cos(0.36226253) × R
    0.000191739999999996 × 0.935097397890376 × 6371000     		do = 1142.29210878051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47783502-0.47802676) × cos(0.36208322) × R
    0.000191739999999996 × 0.935160928676107 × 6371000     		du = 1142.36971643439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36226253)-sin(0.36208322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935097397890376-0.935160928676107)×R²
    abs(0.47802676-0.47783502)×6.35307857314027e-05×R²
    0.000191739999999996×6.35307857314027e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.35307857314027e-05×40589641000000     		ar = 1304980.57218805m²