Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18875 / 14455
↖ ↑ ↗
← N 20.725291°
E 27.366943°		 ← 1 142.58 m → N 20.725291°
E 27.377930°		 →
↑
1 142.58 m
↓
↑
1 142.58 m
↓
N 20.715015°
E 27.366943°		 ← 1 142.66 m →
1 305 533 m²		 N 20.715015°
E 27.377930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576034545898438 y=0.441146850585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576034545898438 × 215)
    floor (0.576034545898438 × 32768)
    floor (18875.5)     		tx = 18875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441146850585938 × 215)
    floor (0.441146850585938 × 32768)
    floor (14455.5)     		ty = 14455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18875 / 14455 ti = "15/18875/14455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18875/14455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18875 ÷ 215
    18875 ÷ 32768     		x = 0.576019287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14455 ÷ 215
    14455 ÷ 32768     		y = 0.441131591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576019287109375 × 2 - 1) × π
    0.15203857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47764327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441131591796875 × 2 - 1) × π
    0.11773681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.369881117468353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47764327} λ = 0.47764327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.369881117468353))-π/2
    2×atan(1.44756251453723)-π/2
    2×0.96626044548487-π/2
    1.93252089096974-1.57079632675     		φ = 0.36172456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47764327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.366943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36172456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.725291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18875 KachelY 14455 0.47764327 0.36172456 27.366943 20.725291
    Oben rechts KachelX + 1 18876 KachelY 14455 0.47783502 0.36172456 27.377930 20.725291
    Unten links KachelX 18875 KachelY + 1 14456 0.47764327 0.36154522 27.366943 20.715015
    Unten rechts KachelX + 1 18876 KachelY + 1 14456 0.47783502 0.36154522 27.377930 20.715015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36172456-0.36154522) × R
    0.000179339999999972 × 6371000     		dl = 1142.57513999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36172456-0.36154522) × R
    0.000179339999999972 × 6371000     		dr = 1142.57513999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47764327-0.47783502) × cos(0.36172456) × R
    0.000191749999999991 × 0.935287914198942 × 6371000     		do = 1142.584426036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47764327-0.47783502) × cos(0.36154522) × R
    0.000191749999999991 × 0.935351365381345 × 6371000     		du = 1142.66194049089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36172456)-sin(0.36154522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935287914198942-0.935351365381345)×R²
    abs(0.47783502-0.47764327)×6.34511824028072e-05×R²
    0.000191749999999991×6.34511824028072e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.34511824028072e-05×40589641000000     		ar = 1305532.84708362m²