Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18873 / 14473
↖ ↑ ↗
← N 20.540221°
E 27.344971°		 ← 1 143.97 m → N 20.540221°
E 27.355957°		 →
↑
1 143.98 m
↓
↑
1 143.98 m
↓
N 20.529933°
E 27.344971°		 ← 1 144.05 m →
1 308 725 m²		 N 20.529933°
E 27.355957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575973510742188 y=0.441696166992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575973510742188 × 215)
    floor (0.575973510742188 × 32768)
    floor (18873.5)     		tx = 18873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441696166992188 × 215)
    floor (0.441696166992188 × 32768)
    floor (14473.5)     		ty = 14473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18873 / 14473 ti = "15/18873/14473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18873/14473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18873 ÷ 215
    18873 ÷ 32768     		x = 0.575958251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14473 ÷ 215
    14473 ÷ 32768     		y = 0.441680908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575958251953125 × 2 - 1) × π
    0.15191650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47725977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441680908203125 × 2 - 1) × π
    0.11663818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.366429660695709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47725977} λ = 0.47725977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.366429660695709))-π/2
    2×atan(1.44257492726478)-π/2
    2×0.964645409265731-π/2
    1.92929081853146-1.57079632675     		φ = 0.35849449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47725977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.344971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35849449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.540221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18873 KachelY 14473 0.47725977 0.35849449 27.344971 20.540221
    Oben rechts KachelX + 1 18874 KachelY 14473 0.47745152 0.35849449 27.355957 20.540221
    Unten links KachelX 18873 KachelY + 1 14474 0.47725977 0.35831493 27.344971 20.529933
    Unten rechts KachelX + 1 18874 KachelY + 1 14474 0.47745152 0.35831493 27.355957 20.529933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35849449-0.35831493) × R
    0.000179560000000023 × 6371000     		dl = 1143.97676000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35849449-0.35831493) × R
    0.000179560000000023 × 6371000     		dr = 1143.97676000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47725977-0.47745152) × cos(0.35849449) × R
    0.000191749999999991 × 0.936426115225406 × 6371000     		do = 1143.97489708432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47725977-0.47745152) × cos(0.35831493) × R
    0.000191749999999991 × 0.936489101418373 × 6371000     		du = 1144.05184348986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35849449)-sin(0.35831493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936426115225406-0.936489101418373)×R²
    abs(0.47745152-0.47725977)×6.29861929662967e-05×R²
    0.000191749999999991×6.29861929662967e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.29861929662967e-05×40589641000000     		ar = 1308724.71225401m²