Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18873 / 13894
↖ ↑ ↗
← N 26.372186°
E 27.344971°		 ← 1 094.50 m → N 26.372186°
E 27.355957°		 →
↑
1 094.54 m
↓
↑
1 094.54 m
↓
N 26.362342°
E 27.344971°		 ← 1 094.59 m →
1 198 023 m²		 N 26.362342°
E 27.355957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575973510742188 y=0.424026489257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575973510742188 × 215)
    floor (0.575973510742188 × 32768)
    floor (18873.5)     		tx = 18873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424026489257812 × 215)
    floor (0.424026489257812 × 32768)
    floor (13894.5)     		ty = 13894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18873 / 13894 ti = "15/18873/13894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18873/13894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18873 ÷ 215
    18873 ÷ 32768     		x = 0.575958251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13894 ÷ 215
    13894 ÷ 32768     		y = 0.42401123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575958251953125 × 2 - 1) × π
    0.15191650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47725977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42401123046875 × 2 - 1) × π
    0.1519775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.477451520215759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47725977} λ = 0.47725977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.477451520215759))-π/2
    2×atan(1.61196111279275)-π/2
    2×1.01553889684339-π/2
    2.03107779368677-1.57079632675     		φ = 0.46028147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47725977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.344971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46028147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.372186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18873 KachelY 13894 0.47725977 0.46028147 27.344971 26.372186
    Oben rechts KachelX + 1 18874 KachelY 13894 0.47745152 0.46028147 27.355957 26.372186
    Unten links KachelX 18873 KachelY + 1 13895 0.47725977 0.46010967 27.344971 26.362342
    Unten rechts KachelX + 1 18874 KachelY + 1 13895 0.47745152 0.46010967 27.355957 26.362342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46028147-0.46010967) × R
    0.0001718 × 6371000     		dl = 1094.5378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46028147-0.46010967) × R
    0.0001718 × 6371000     		dr = 1094.5378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47725977-0.47745152) × cos(0.46028147) × R
    0.000191749999999991 × 0.895927503958467 × 6371000     		do = 1094.50020399014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47725977-0.47745152) × cos(0.46010967) × R
    0.000191749999999991 × 0.896003804348092 × 6371000     		du = 1094.5934155409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46028147)-sin(0.46010967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895927503958467-0.896003804348092)×R²
    abs(0.47745152-0.47725977)×7.63003896255832e-05×R²
    0.000191749999999991×7.63003896255832e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.63003896255832e-05×40589641000000     		ar = 1198022.86010437m²