Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18872 / 14472
↖ ↑ ↗
← N 20.550509°
E 27.333985°		 ← 1 143.84 m → N 20.550509°
E 27.344971°		 →
↑
1 143.91 m
↓
↑
1 143.91 m
↓
N 20.540221°
E 27.333985°		 ← 1 143.92 m →
1 308 496 m²		 N 20.540221°
E 27.344971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575942993164062 y=0.441665649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575942993164062 × 215)
    floor (0.575942993164062 × 32768)
    floor (18872.5)     		tx = 18872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441665649414062 × 215)
    floor (0.441665649414062 × 32768)
    floor (14472.5)     		ty = 14472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18872 / 14472 ti = "15/18872/14472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18872/14472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18872 ÷ 215
    18872 ÷ 32768     		x = 0.575927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14472 ÷ 215
    14472 ÷ 32768     		y = 0.441650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575927734375 × 2 - 1) × π
    0.15185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47706803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441650390625 × 2 - 1) × π
    0.11669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.366621408294189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47706803} λ = 0.47706803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.366621408294189))-π/2
    2×atan(1.44285156406409)-π/2
    2×0.964735184974589-π/2
    1.92947036994918-1.57079632675     		φ = 0.35867404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47706803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.333985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35867404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.550509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18872 KachelY 14472 0.47706803 0.35867404 27.333985 20.550509
    Oben rechts KachelX + 1 18873 KachelY 14472 0.47725977 0.35867404 27.344971 20.550509
    Unten links KachelX 18872 KachelY + 1 14473 0.47706803 0.35849449 27.333985 20.540221
    Unten rechts KachelX + 1 18873 KachelY + 1 14473 0.47725977 0.35849449 27.344971 20.540221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35867404-0.35849449) × R
    0.000179550000000028 × 6371000     		dl = 1143.91305000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35867404-0.35849449) × R
    0.000179550000000028 × 6371000     		dr = 1143.91305000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47706803-0.47725977) × cos(0.35867404) × R
    0.000191740000000051 × 0.936363102350712 × 6371000     		do = 1143.83826239045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47706803-0.47725977) × cos(0.35849449) × R
    0.000191740000000051 × 0.936426115225406 × 6371000     		du = 1143.91523737688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35867404)-sin(0.35849449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936363102350712-0.936426115225406)×R²
    abs(0.47725977-0.47706803)×6.30128746941239e-05×R²
    0.000191740000000051×6.30128746941239e-05×6371000²
    0.000191740000000051×6.30128746941239e-05×40589641000000     		ar = 1308495.545299m²