Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18872 / 14457
↖ ↑ ↗
← N 20.704739°
E 27.333985°		 ← 1 142.68 m → N 20.704739°
E 27.344971°		 →
↑
1 142.77 m
↓
↑
1 142.77 m
↓
N 20.694461°
E 27.333985°		 ← 1 142.76 m →
1 305 860 m²		 N 20.694461°
E 27.344971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575942993164062 y=0.441207885742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575942993164062 × 215)
    floor (0.575942993164062 × 32768)
    floor (18872.5)     		tx = 18872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441207885742188 × 215)
    floor (0.441207885742188 × 32768)
    floor (14457.5)     		ty = 14457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18872 / 14457 ti = "15/18872/14457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18872/14457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18872 ÷ 215
    18872 ÷ 32768     		x = 0.575927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14457 ÷ 215
    14457 ÷ 32768     		y = 0.441192626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575927734375 × 2 - 1) × π
    0.15185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47706803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441192626953125 × 2 - 1) × π
    0.11761474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.369497622271393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47706803} λ = 0.47706803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.369497622271393))-π/2
    2×atan(1.44700748769747)-π/2
    2×0.966081094107571-π/2
    1.93216218821514-1.57079632675     		φ = 0.36136586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47706803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.333985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36136586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.704739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18872 KachelY 14457 0.47706803 0.36136586 27.333985 20.704739
    Oben rechts KachelX + 1 18873 KachelY 14457 0.47725977 0.36136586 27.344971 20.704739
    Unten links KachelX 18872 KachelY + 1 14458 0.47706803 0.36118649 27.333985 20.694461
    Unten rechts KachelX + 1 18873 KachelY + 1 14458 0.47725977 0.36118649 27.344971 20.694461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36136586-0.36118649) × R
    0.000179369999999957 × 6371000     		dl = 1142.76626999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36136586-0.36118649) × R
    0.000179369999999957 × 6371000     		dr = 1142.76626999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47706803-0.47725977) × cos(0.36136586) × R
    0.000191740000000051 × 0.93541479355124 × 6371000     		do = 1142.67983155665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47706803-0.47725977) × cos(0.36118649) × R
    0.000191740000000051 × 0.935478195162677 × 6371000     		du = 1142.75728141438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36136586)-sin(0.36118649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93541479355124-0.935478195162677)×R²
    abs(0.47725977-0.47706803)×6.34016114364755e-05×R²
    0.000191740000000051×6.34016114364755e-05×6371000²
    0.000191740000000051×6.34016114364755e-05×40589641000000     		ar = 1305860.22595554m²